Номер 210, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 210, страница 81.

210 Постройте график функции, воспользовавшись планом, предложенным в предыдущем упражнении:

а) $y = 2x^2 - 2x - 12;$

б) $y = -2x^2 + 6x.$

а) $y = 2x^2 - 2x - 12$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Для её построения воспользуемся стандартным планом исследования функции.

1. Направление ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы.
   Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   В нашем случае $a = 2$, $b = -2$.
   $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$.
   Ордината вершины $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:
   $y_0 = 2(0.5)^2 - 2(0.5) - 12 = 2 \cdot 0.25 - 1 - 12 = 0.5 - 13 = -12.5$.
   Координаты вершины: $(0.5; -12.5)$.

3. Ось симметрии.
   Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через её вершину. Уравнение оси симметрии: $x = 0.5$.

4. Точки пересечения с осями координат.
   С осью Oy:
   Для этого нужно найти значение функции при $x=0$.
   $y(0) = 2(0)^2 - 2(0) - 12 = -12$.
   Точка пересечения с осью Oy: $(0; -12)$.
   С осью Ox:
   Для этого нужно решить уравнение $y=0$, то есть $2x^2 - 2x - 12 = 0$.
   Разделим обе части на 2: $x^2 - x - 6 = 0$.
   Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
   $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1+5}{2} = 3$.
   $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1-5}{2} = -2$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(3; 0)$ и $(-2; 0)$.

5. Дополнительные точки.
   Для более точного построения графика найдём ещё несколько точек. Воспользуемся симметрией относительно оси $x=0.5$.
   Мы уже знаем точку $(0; -12)$. Симметричная ей точка будет иметь ту же ординату, а абсцисса будет $x = 2x_0 - 0 = 2 \cdot 0.5 - 0 = 1$. Получаем точку $(1; -12)$.
   Найдём значение при $x = -1$: $y(-1) = 2(-1)^2 - 2(-1) - 12 = 2 + 2 - 12 = -8$. Точка $(-1; -8)$.
   Симметричная ей точка: $x = 2 \cdot 0.5 - (-1) = 1 + 1 = 2$. Получаем точку $(2; -8)$.

6. Построение графика.
   Отмечаем на координатной плоскости найденные точки: вершину $(0.5; -12.5)$, точки пересечения с осями $(-2; 0)$, $(3; 0)$, $(0; -12)$, и дополнительные точки $(1; -12)$, $(-1; -8)$, $(2; -8)$. Соединяем их плавной линией, чтобы получить параболу.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 2x - 12$ — это парабола с вершиной в точке $(0.5; -12.5)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; -12)$ и ось Ox в точках $(-2; 0)$ и $(3; 0)$.

б) $y = -2x^2 + 6x$

Это также квадратичная функция, её график — парабола. Построим её по тому же плану.

1. Направление ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы.
   Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   Здесь $a = -2$, $b = 6$.
   $x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-2)} = -\frac{6}{-4} = 1.5$.
   Ордината вершины:
   $y_0 = -2(1.5)^2 + 6(1.5) = -2 \cdot 2.25 + 9 = -4.5 + 9 = 4.5$.
   Координаты вершины: $(1.5; 4.5)$.

3. Ось симметрии.
   Уравнение оси симметрии: $x = 1.5$.

4. Точки пересечения с осями координат.
   С осью Oy:
   При $x=0$: $y(0) = -2(0)^2 + 6(0) = 0$.
   Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.
   С осью Ox:
   Решим уравнение $-2x^2 + 6x = 0$.
   Вынесем за скобки $-2x$: $-2x(x - 3) = 0$.
   Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
   $-2x = 0 \implies x_1 = 0$
   $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$
   Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

5. Дополнительные точки.
   Найдём значение функции в точке $x = 1$:
   $y(1) = -2(1)^2 + 6(1) = -2 + 6 = 4$. Точка $(1; 4)$.
   Симметричная ей точка относительно оси $x = 1.5$ имеет абсциссу $x = 2 \cdot 1.5 - 1 = 3 - 1 = 2$. Получаем точку $(2; 4)$.
   Найдём значение при $x = -1$: $y(-1) = -2(-1)^2 + 6(-1) = -2 - 6 = -8$. Точка $(-1; -8)$.
   Симметричная ей точка: $x = 2 \cdot 1.5 - (-1) = 3 + 1 = 4$. Получаем точку $(4; -8)$.

6. Построение графика.
   Отмечаем на координатной плоскости найденные точки: вершину $(1.5; 4.5)$, точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(3; 0)$, и дополнительные точки $(1; 4)$, $(2; 4)$, $(-1; -8)$, $(4; -8)$. Соединяем их плавной линией, чтобы получить параболу.

Ответ: График функции $y = -2x^2 + 6x$ — это парабола с вершиной в точке $(1.5; 4.5)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает оси координат в точках $(0; 0)$ и $(3; 0)$.