Номер 214, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 214, страница 87.

214 Постройте график функции на указанной области определения, составив предварительно таблицу её значений:

а) $y = 2x^2$, где $-2 \le x \le 2$;

б) $y = \frac{1}{2}x^2$, где $-4 \le x \le 4$.

Для каждой функции укажите её наибольшее и наименьшее значения на заданном промежутке.

а) Для построения графика функции $y = 2x^2$ на области определения $-2 \le x \le 2$, составим предварительно таблицу её значений.

Функция является четной, так как $y(-x) = 2(-x)^2 = 2x^2 = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (OY). Вычислим значения функции для неотрицательных значений $x$ и воспользуемся симметрией для отрицательных.

• При $x=0$, $y = 2 \cdot 0^2 = 0$.
• При $x=1$, $y = 2 \cdot 1^2 = 2$.
• При $x=2$, $y = 2 \cdot 2^2 = 8$.

Составим таблицу значений:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	8	2	0	2	8

График функции — это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Построив точки из таблицы на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, получим график функции на заданном промежутке.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции заметим, что коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функция принимает в своей вершине.

Вершина параболы $y=2x^2$ находится в точке с абсциссой $x=0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0$.

Наибольшее значение на отрезке $[-2; 2]$ достигается на его концах, так как в этих точках функция наиболее удалена от вершины.

$y(2) = 2 \cdot 2^2 = 8$

$y(-2) = 2 \cdot (-2)^2 = 8$

Наибольшее значение: $y_{наиб} = 8$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 8, наименьшее значение равно 0.

---

б) Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}x^2$ на области определения $-4 \le x \le 4$, составим таблицу её значений.

Эта функция также является четной, поскольку $y(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 = \frac{1}{2}x^2 = y(x)$. Её график симметричен относительно оси OY. Вычислим значения для $x \ge 0$.

• При $x=0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$.
• При $x=1$, $y = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 0.5$.
• При $x=2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2$.
• При $x=3$, $y = \frac{1}{2} \cdot 3^2 = 4.5$.
• При $x=4$, $y = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = 8$.

Используя симметрию, составим полную таблицу значений:

$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$y$	8	4.5	2	0.5	0	0.5	2	4.5	8

График функции — это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. График строится по точкам из таблицы, которые соединяются плавной кривой на промежутке $[-4; 4]$.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции. Коэффициент при $x^2$ положителен ($a=\frac{1}{2} > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх, и наименьшее значение достигается в вершине.

Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x=0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0$.

Наибольшее значение на отрезке $[-4; 4]$ достигается на его концах.

$y(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.

$y(-4) = \frac{1}{2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = 8$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 8, наименьшее значение равно 0.