Страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

214 Постройте график функции на указанной области определения, составив предварительно таблицу её значений:

а) $y = 2x^2$, где $-2 \le x \le 2$;

б) $y = \frac{1}{2}x^2$, где $-4 \le x \le 4$.

Для каждой функции укажите её наибольшее и наименьшее значения на заданном промежутке.

а) Для построения графика функции $y = 2x^2$ на области определения $-2 \le x \le 2$, составим предварительно таблицу её значений.

Функция является четной, так как $y(-x) = 2(-x)^2 = 2x^2 = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (OY). Вычислим значения функции для неотрицательных значений $x$ и воспользуемся симметрией для отрицательных.

• При $x=0$, $y = 2 \cdot 0^2 = 0$.
• При $x=1$, $y = 2 \cdot 1^2 = 2$.
• При $x=2$, $y = 2 \cdot 2^2 = 8$.

Составим таблицу значений:

График функции — это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Построив точки из таблицы на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, получим график функции на заданном промежутке.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции заметим, что коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функция принимает в своей вершине.

Вершина параболы $y=2x^2$ находится в точке с абсциссой $x=0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0$.

Наибольшее значение на отрезке $[-2; 2]$ достигается на его концах, так как в этих точках функция наиболее удалена от вершины.

$y(2) = 2 \cdot 2^2 = 8$

$y(-2) = 2 \cdot (-2)^2 = 8$

Наибольшее значение: $y_{наиб} = 8$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 8, наименьшее значение равно 0.

б) Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}x^2$ на области определения $-4 \le x \le 4$, составим таблицу её значений.

Эта функция также является четной, поскольку $y(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 = \frac{1}{2}x^2 = y(x)$. Её график симметричен относительно оси OY. Вычислим значения для $x \ge 0$.

• При $x=0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$.
• При $x=1$, $y = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 0.5$.
• При $x=2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2$.
• При $x=3$, $y = \frac{1}{2} \cdot 3^2 = 4.5$.
• При $x=4$, $y = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = 8$.

Используя симметрию, составим полную таблицу значений:

График функции — это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. График строится по точкам из таблицы, которые соединяются плавной кривой на промежутке $[-4; 4]$.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции. Коэффициент при $x^2$ положителен ($a=\frac{1}{2} > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх, и наименьшее значение достигается в вершине.

Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x=0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0$.

Наибольшее значение на отрезке $[-4; 4]$ достигается на его концах.

$y(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.

$y(-4) = \frac{1}{2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = 8$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 8, наименьшее значение равно 0.

215 Функция задана формулой $y = \frac{1}{3}x^2$.

1) Заполните таблицу для некоторых неотрицательных значений $x$ и постройте график функции:

$x$: 0, 1, 3, 6

$y$:

2) Найдите по графику значение $y$ при $x$, равном 1,5; -2,5.

3) Найдите по графику значения $x$, при которых $y = 3,5; 4$.

4) Проходит ли график функции через точку (–51; 867)? (1,8; 3,24)? (–1,2; 0,5)?

1) Заполните таблицу для некоторых неотрицательных значений x и постройте график функции:

Для заполнения таблицы подставим заданные значения x в формулу функции $y = \frac{1}{3}x^2$.
При $x = 0$: $y = \frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$.
При $x = 1$: $y = \frac{1}{3} \cdot 1^2 = \frac{1}{3}$.
При $x = 3$: $y = \frac{1}{3} \cdot 3^2 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.
При $x = 6$: $y = \frac{1}{3} \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$.

Заполненная таблица:

Для построения графика функции $y = \frac{1}{3}x^2$ на координатной плоскости отмечают точки, координаты которых мы нашли: (0; 0), (1; 1/3), (3; 3), (6; 12). Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси Oy. Отметим также симметричные точки: (-1; 1/3), (-3; 3), (-6; 12). Соединив все эти точки плавной кривой, получим график функции — параболу с вершиной в начале координат (0; 0) и ветвями, направленными вверх.

Ответ: Таблица заполнена выше. График функции — это парабола с вершиной в точке (0; 0) и ветвями вверх, проходящая, например, через точки (3; 3), (-3; 3), (6; 12), (-6; 12).

2) Найдите по графику значение y при x, равном 1,5; –2,5.

Поиск значений по графику дает приблизительный результат. Для нахождения точных значений y подставим соответствующие значения x в формулу функции $y = \frac{1}{3}x^2$.
При $x = 1,5$: $y = \frac{1}{3}(1,5)^2 = \frac{1}{3} \cdot 2,25 = 0,75$.
При $x = -2,5$: $y = \frac{1}{3}(-2,5)^2 = \frac{1}{3} \cdot 6,25 = \frac{6,25}{3} = \frac{25}{12}$.

Ответ: При $x = 1,5$, $y = 0,75$. При $x = -2,5$, $y = \frac{25}{12}$ (или $y \approx 2,08$).

3) Найдите по графику значения x, при которых y = 3,5; 4.

Поиск значений по графику дает приблизительный результат. Для нахождения точных значений x решим уравнение $y = \frac{1}{3}x^2$ относительно x: $x^2 = 3y \implies x = \pm\sqrt{3y}$.
При $y = 3,5$: $x = \pm\sqrt{3 \cdot 3,5} = \pm\sqrt{10,5}$.
При $y = 4$: $x = \pm\sqrt{3 \cdot 4} = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$.

Ответ: При $y = 3,5$, $x = \pm\sqrt{10,5}$ (или $x \approx \pm3,24$). При $y = 4$, $x = \pm2\sqrt{3}$ (или $x \approx \pm3,46$).

4) Проходит ли график функции через точку (–51; 867)? (1,8; 3,24)? (–1,2; 0,5)?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты $(x_0; y_0)$ в уравнение $y = \frac{1}{3}x^2$ и проверить истинность получившегося равенства.
• Точка (–51; 867): $867 = \frac{1}{3}(-51)^2 \implies 867 = \frac{2601}{3} \implies 867 = 867$. Равенство верно, значит, график проходит через эту точку.
• Точка (1,8; 3,24): $3,24 = \frac{1}{3}(1,8)^2 \implies 3,24 = \frac{3,24}{3} \implies 3,24 = 1,08$. Равенство неверно, значит, график не проходит через эту точку.
• Точка (–1,2; 0,5): $0,5 = \frac{1}{3}(-1,2)^2 \implies 0,5 = \frac{1,44}{3} \implies 0,5 = 0,48$. Равенство неверно, значит, график не проходит через эту точку.

Ответ: График проходит через точку (–51; 867) и не проходит через точки (1,8; 3,24) и (–1,2; 0,5).

216 Функция задана формулой $y = 3x^2$.

1) Составьте таблицу значений функции и постройте её график.

2) Отметьте на графике пару симметричных точек и укажите их координаты.

3) В каких точках график пересекает прямую $y = 48$? $y = 75$?

1) Составьте таблицу значений функции и постройте её график.

Функция задана формулой $y = 3x^2$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, точке $(0, 0)$.

Для построения графика составим таблицу значений, выбрав несколько симметричных относительно нуля значений $x$ и вычислив для них соответствующие значения $y$.

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки с координатами из таблицы: $(-3, 27)$, $(-2, 12)$, $(-1, 3)$, $(0, 0)$, $(1, 3)$, $(2, 12)$, $(3, 27)$ и соединить их плавной линией. Полученная кривая является графиком функции $y=3x^2$.

Ответ: Таблица значений представлена выше. График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящая через точки из таблицы.

2) Отметьте на графике пару симметричных точек и укажите их координаты.

Функция $y = 3x^2$ является чётной, так как $y(-x) = 3(-x)^2 = 3x^2 = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Следовательно, любые две точки вида $(-a, 3a^2)$ и $(a, 3a^2)$ для $a \neq 0$ будут симметричны.

Возьмём из таблицы пару точек, например, при $x = 2$ и $x = -2$.

Для $x = 2$, $y = 3 \cdot 2^2 = 12$. Точка $(2, 12)$.

Для $x = -2$, $y = 3 \cdot (-2)^2 = 12$. Точка $(-2, 12)$.

Эти точки лежат на одной и той же высоте ($y=12$) и на одинаковом расстоянии от оси OY, что подтверждает их симметрию.

Ответ: Пара симметричных точек: $(-2, 12)$ и $(2, 12)$.

3) В каких точках график пересекает прямую $y = 48$? $y = 75$?

Чтобы найти точки пересечения графика функции $y = 3x^2$ с горизонтальной прямой, необходимо решить уравнение, приравняв правые части выражений для $y$.

Пересечение с прямой $y = 48$:

Решаем уравнение $3x^2 = 48$.

$x^2 = \frac{48}{3}$

$x^2 = 16$

$x = \pm \sqrt{16}$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Координаты точек пересечения: $(-4, 48)$ и $(4, 48)$.

Пересечение с прямой $y = 75$:

Решаем уравнение $3x^2 = 75$.

$x^2 = \frac{75}{3}$

$x^2 = 25$

$x = \pm \sqrt{25}$, откуда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Координаты точек пересечения: $(-5, 75)$ и $(5, 75)$.

Ответ: График пересекает прямую $y = 48$ в точках $(-4, 48)$ и $(4, 48)$, а прямую $y=75$ — в точках $(-5, 75)$ и $(5, 75)$.

217 1) В одной системе координат постройте график функции $f(x)=\frac{1}{4}x^2$ и график функции $g(x)=-\frac{1}{4}x^2$.

2) Вычислите значение выражения $f(10)$. Чему равно значение выражения $g(10)$?

3) График какой из функций — $y = f(x)$ или $y = g(x)$ — пересекает прямую $y = 100$? $y = -400$? Укажите координаты точек пересечения.

1) Графики функций $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ и $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ являются параболами с вершиной в начале координат $(0, 0)$.
Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{4} > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.
Для функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-\frac{1}{4} < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.
График функции $g(x)$ является зеркальным отражением графика $f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox).
Для построения графиков найдем координаты нескольких контрольных точек:
Точки для $f(x)$: $(-4, 4), (-2, 1), (0, 0), (2, 1), (4, 4)$.
Точки для $g(x)$: $(-4, -4), (-2, -1), (0, 0), (2, -1), (4, -4)$.
Соединив точки плавными линиями, мы получим два графика в одной системе координат.
Ответ: Построены графики. График $y=f(x)$ — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. График $y=g(x)$ — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз.

2) Для вычисления значения выражения $f(10)$, подставим $x=10$ в уравнение функции $f(x)=\frac{1}{4}x^2$:
$f(10) = \frac{1}{4} \cdot (10)^2 = \frac{1}{4} \cdot 100 = 25$.
Для вычисления значения выражения $g(10)$, подставим $x=10$ в уравнение функции $g(x)=-\frac{1}{4}x^2$:
$g(10) = -\frac{1}{4} \cdot (10)^2 = -\frac{1}{4} \cdot 100 = -25$.
Также можно было заметить, что $g(x) = -f(x)$, поэтому $g(10) = -f(10) = -25$.
Ответ: $f(10) = 25$, $g(10) = -25$.

3) Чтобы определить, какой график пересекает заданные прямые, проанализируем области значений функций.
Функция $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ принимает только неотрицательные значения ($y \ge 0$). Следовательно, её график может пересекать только прямую $y=100$.
Найдем точки пересечения, решив уравнение $f(x) = 100$:
$\frac{1}{4}x^2 = 100$
$x^2 = 400$
$x = \pm\sqrt{400}$
$x_1 = 20, x_2 = -20$.
Координаты точек пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=100$: $(20, 100)$ и $(-20, 100)$.

Функция $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ принимает только неположительные значения ($y \le 0$). Следовательно, её график может пересекать только прямую $y=-400$.
Найдем точки пересечения, решив уравнение $g(x) = -400$:
$-\frac{1}{4}x^2 = -400$
$x^2 = 1600$
$x = \pm\sqrt{1600}$
$x_1 = 40, x_2 = -40$.
Координаты точек пересечения графика $y=g(x)$ с прямой $y=-400$: $(40, -400)$ и $(-40, -400)$.
Ответ: График функции $y=f(x)$ пересекает прямую $y=100$ в точках с координатами $(-20, 100)$ и $(20, 100)$. График функции $y=g(x)$ пересекает прямую $y=-400$ в точках с координатами $(-40, -400)$ и $(40, -400)$.

218 1) Постройте график функции $y = -\frac{1}{5}x^2$.

2) Какие из точек (10; -20), (-5; -5), $(\frac{1}{5}; -1)$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{20})$ принадлежат графику этой функции? Запишите координаты ещё каких-либо двух точек, одна из которых принадлежит этому графику, а другая нет.

3) Укажите наибольшее и наименьшее значения этой функции на промежутке $[-2; 6]$, на промежутке $[-5; 5]$.

1) График функции $y = -\frac{1}{5}x^2$ — это парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен $-\frac{1}{5}$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Для построения графика найдём координаты нескольких точек, принадлежащих ему, составив таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Она проходит через точки $(5; -5)$ и $(-5; -5)$.

2) Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, подставим её координаты $(x; y)$ в уравнение $y = -\frac{1}{5}x^2$ и проверим, выполняется ли равенство.
• Для точки $(10; -20)$: $y = -\frac{1}{5}(10)^2 = -\frac{1}{5} \cdot 100 = -20$. Равенство $-20 = -20$ верно, значит, точка принадлежит графику.
• Для точки $(-5; -5)$: $y = -\frac{1}{5}(-5)^2 = -\frac{1}{5} \cdot 25 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно, значит, точка принадлежит графику.
• Для точки $(\frac{1}{5}; -1)$: $y = -\frac{1}{5}(\frac{1}{5})^2 = -\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{25} = -\frac{1}{125}$. Равенство $-\frac{1}{125} = -1$ неверно, значит, точка не принадлежит графику.
• Для точки $(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{20})$: $y = -\frac{1}{5}(-\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{20}$. Равенство $-\frac{1}{20} = -\frac{1}{20}$ верно, значит, точка принадлежит графику.

Запишем координаты ещё двух точек.
• Точка, принадлежащая графику: выберем произвольное значение $x$, например $x=1$. Тогда $y = -\frac{1}{5}(1)^2 = -\frac{1}{5}$. Точка $(1; -\frac{1}{5})$ принадлежит графику.
• Точка, не принадлежащая графику: выберем произвольные координаты, например $(1; 1)$. Проверим: $y = -\frac{1}{5}(1)^2 = -\frac{1}{5}$. Равенство $1 = -\frac{1}{5}$ неверно, значит, точка $(1; 1)$ не принадлежит графику.
Ответ: Графику принадлежат точки $(10; -20)$, $(-5; -5)$ и $(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{20})$. Пример точки, принадлежащей графику: $(1; -0,2)$. Пример точки, не принадлежащей графику: $(1; 1)$.

3) Функция $y = -\frac{1}{5}x^2$ — парабола с ветвями, направленными вниз. Её наибольшее значение достигается в вершине, в точке $x=0$.

• На промежутке $[-2; 6]$:
Точка $x=0$ (вершина) входит в данный промежуток, следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке равно значению в вершине:
$y_{наиб} = y(0) = -\frac{1}{5}(0)^2 = 0$.
Наименьшее значение будет на том конце отрезка, который дальше от вершины. Сравним расстояния от концов отрезка до $x=0$: $|-2-0|=2$ и $|6-0|=6$. Точка $x=6$ дальше, значит, в ней будет наименьшее значение.
$y_{наим} = y(6) = -\frac{1}{5}(6)^2 = -\frac{36}{5} = -7,2$.

• На промежутке $[-5; 5]$:
Точка $x=0$ (вершина) входит в данный промежуток, поэтому наибольшее значение функции также будет в вершине:
$y_{наиб} = y(0) = 0$.
Промежуток $[-5; 5]$ симметричен относительно вершины ($x=0$), поэтому наименьшее значение будет достигаться на обоих концах промежутка, и эти значения будут равны.
$y_{наим} = y(5) = y(-5) = -\frac{1}{5}(5)^2 = -\frac{25}{5} = -5$.
Ответ: На промежутке $[-2; 6]$ наибольшее значение функции равно 0, а наименьшее равно -7,2. На промежутке $[-5; 5]$ наибольшее значение равно 0, а наименьшее равно -5.