Страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

229 Постройте график функции $y = \begin{cases} -x, \text{ если } x \le 1 \\ x^2, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Указание.

График состоит из двух частей. Подумайте, какой части принадлежит точка с абсциссой, равной 1, и исключите лишнюю точку, показав её стрелкой.

Для построения графика заданной кусочной функции $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le 1 \\ x^2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$ необходимо рассмотреть каждый участок отдельно.

1. График функции $y = -x$ при $x \le 1$

На промежутке $(-\infty, 1]$ функция задается формулой $y = -x$. Ее график — это прямая линия. Для построения достаточно двух точек. Возьмем граничную точку $x=1$. При $x=1$, $y=-1$. Так как неравенство $x \le 1$ нестрогое, точка $(1, -1)$ принадлежит графику. Отметим ее закрашенным (сплошным) кружком. В качестве второй точки возьмем $x=0$, тогда $y=0$. Графиком является луч, проходящий через точку $(0, 0)$ и заканчивающийся в точке $(1, -1)$.

2. График функции $y = x^2$ при $x > 1$

На промежутке $(1, +\infty)$ функция задается формулой $y = x^2$. Ее график — это часть параболы с ветвями вверх. Найдем значение функции на границе промежутка. При $x=1$, $y=1^2=1$. Поскольку неравенство $x>1$ строгое, точка $(1, 1)$ не принадлежит графику. Такую точку называют выколотой и на графике изображают пустым (незакрашенным) кружком. Это "лишняя точка", которую, согласно указанию, необходимо исключить. Для дальнейшего построения возьмем точку $x=2$, тогда $y=2^2=4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику. Таким образом, на этом промежутке график представляет собой часть параболы, начинающуюся от выколотой точки $(1, 1)$ и идущую вверх через точку $(2, 4)$.

3. Итоговый график функции

Объединяя оба построенных участка на одной координатной плоскости, получаем итоговый график. В точке $x=1$ функция имеет разрыв. Точка $(1, -1)$ является частью графика, а точка $(1, 1)$ — нет.

Ответ:

График функции состоит из луча прямой $y=-x$ на интервале $(-\infty, 1]$ (включая точку $(1, -1)$) и части параболы $y=x^2$ на интервале $(1, +\infty)$ (начиная с выколотой точки $(1, 1)$). График представлен на рисунке ниже.

230 В одной системе координат постройте графики функций:

а) $y = |x|$ и $y = -|x|$;

б) $y = \sqrt{x}$ и $y = -\sqrt{x}$;

в) $y = x^3$ и $y = -x^3$;

г) $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$.

Во всех представленных парах функций вида $y = f(x)$ и $y = -f(x)$ график второй функции является зеркальным отражением графика первой функции относительно оси абсцисс (оси Ox). Это происходит потому, что для каждой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику $y = f(x)$, точка $(x_0, -y_0)$ будет принадлежать графику $y = -f(x)$.

а) Для построения графиков функций $y = |x|$ и $y = -|x|$ сначала рассмотрим $y = |x|$.
По определению модуля: $y = x$, если $x \ge 0$. Это биссектриса I координатного угла. $y = -x$, если $x < 0$. Это биссектриса II координатного угла. График функции $y = |x|$ представляет собой "галочку" (или букву V) с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вверх.
График функции $y = -|x|$ симметричен графику $y = |x|$ относительно оси Ox. Он также представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0,0)$, но его ветви направлены вниз.
Ответ: Графики представляют собой две "галочки" с общей вершиной в начале координат, симметричные друг другу относительно оси Ox. Ветви одной направлены вверх, а другой — вниз.

б) Для построения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -\sqrt{x}$ сначала рассмотрим $y = \sqrt{x}$.
Область определения этой функции $x \ge 0$. График представляет собой верхнюю ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Он начинается в точке $(0,0)$ и проходит через точки $(1,1)$, $(4,2)$, $(9,3)$. График расположен в I координатной четверти.
График функции $y = -\sqrt{x}$ симметричен графику $y = \sqrt{x}$ относительно оси Ox. Он представляет собой нижнюю ветвь той же параболы. График также начинается в точке $(0,0)$ и проходит через точки $(1,-1)$, $(4,-2)$, $(9,-3)$. График расположен в IV координатной четверти.
Ответ: Два графика вместе образуют параболу $x = y^2$ с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вправо вдоль оси Ox.

в) Для построения графиков функций $y = x^3$ и $y = -x^3$ сначала рассмотрим $y = x^3$.
График этой функции называется кубической параболой. Он проходит через начало координат и симметричен относительно него. Для построения найдем несколько точек: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$. График расположен в I и III координатных четвертях.
График функции $y = -x^3$ симметричен графику $y = x^3$ относительно оси Ox. Он также является кубической параболой, проходящей через начало координат. Его точки: $(-2, 8)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -8)$. График расположен во II и IV координатных четвертях.
Ответ: Графики представляют собой две кубические параболы, проходящие через начало координат и симметричные друг другу относительно оси Ox и оси Oy.

г) Для построения графиков функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$ сначала рассмотрим $y = \frac{2}{x}$.
График этой функции — гипербола. Область определения $x \ne 0$. Оси координат являются асимптотами. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Точки для построения: $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(4, 0.5)$ для первой ветви и $(-1, -2)$, $(-2, -1)$, $(-4, -0.5)$ для второй.
График функции $y = -\frac{2}{x}$ симметричен графику $y = \frac{2}{x}$ относительно оси Ox. Это также гипербола с теми же асимптотами, но ее ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Точки для построения: $(-1, 2)$, $(-2, 1)$ для одной ветви и $(1, -2)$, $(2, -1)$ для другой.
Ответ: Графики представляют собой две гиперболы с асимптотами Ox и Oy, симметричные друг другу относительно оси Ox. Ветви первой гиперболы находятся в I и III квадрантах, а второй — во II и IV.

231 На рисунке 2.16, а, б изображён график функции $y = f(x)$. Перечертите график в тетрадь и в этой же системе координат постройте график функции $y = -f(x)$.

а) б)

а) Для того чтобы построить график функции $y = -f(x)$, необходимо выполнить симметричное отражение графика функции $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox). При таком преобразовании каждая точка с координатами $(x_0; y_0)$, принадлежащая исходному графику, переходит в точку с координатами $(x_0; -y_0)$.
Определим координаты нескольких ключевых точек на исходном графике:

• Начальная точка графика: $(-3; 1)$.
• Точка пересечения с осью ординат: $(0; 4)$.
• Примерная конечная точка: $(4; 5)$.

Теперь найдем координаты соответствующих точек для графика функции $y = -f(x)$:

• Точка $(-3; 1)$ перейдет в точку $(-3; -1)$.
• Точка $(0; 4)$ перейдет в точку $(0; -4)$.
• Точка $(4; 5)$ перейдет в точку $(4; -5)$.

Соединив новые точки плавной линией, мы получим искомый график. Он будет являться зеркальным отражением исходного графика относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ — это кривая, симметричная исходной относительно оси Ox, проходящая через точки $(-3; -1)$, $(0; -4)$ и $(4; -5)$.

б) Как и в предыдущем случае, для построения графика $y = -f(x)$ отразим исходный график $y = f(x)$ симметрично относительно оси Ox. Координаты каждой точки $(x; y)$ преобразуются в $(x; -y)$.
Определим координаты ключевых точек на исходном графике:

• Точка на левой ветви: $(-3; -3)$.
• Точка пересечения с осью абсцисс: $(-2; 0)$.
• Вершина (точка максимума): $(0; 3)$.
• Точка на правой ветви: $(2.5; 2)$.

Найдем координаты соответствующих точек для графика $y = -f(x)$:

• Точка $(-3; -3)$ перейдет в точку $(-3; 3)$.
• Точка $(-2; 0)$, лежащая на оси отражения (оси Ox), останется на своем месте.
• Вершина $(0; 3)$ перейдет в точку $(0; -3)$, которая станет точкой минимума нового графика.
• Точка $(2.5; 2)$ перейдет в точку $(2.5; -2)$.

Соединив полученные точки, мы построим искомый график. Та часть исходного графика, что была над осью Ox, окажется под осью, а та, что была под осью, окажется над ней.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ симметричен исходному относительно оси Ox. Он проходит через точку $(-3; 3)$, пересекает ось Ox в точке $(-2; 0)$, имеет минимум в точке $(0; -3)$ и далее уходит вниз, проходя через точку $(2.5; -2)$.

232 Исследуем

1) Постройте параболу $y = \frac{1}{4}x^2$.

2) В этой же системе координат проведите прямую $d$, уравнение которой $y = -1$, и отметьте точку $F(0; 1)$.

3) Отметьте на параболе несколько точек с целыми координатами и для каждой из них вычислите расстояния до точки $F$ и до прямой $d$.

4) Докажите, что любая точка параболы $y = \frac{1}{4}x^2$ находится на одинаковом расстоянии от точки $F$ и от прямой $d$.

Подсказка. Возьмите произвольную точку параболы $\left(x; \frac{1}{4}x^2\right)$.

Составьте выражения для нахождения расстояний от этой точки до точки $F$ и до прямой $d$.

1) Постройте параболу $y = \frac{1}{4}x^2$.

Для построения параболы $y = \frac{1}{4}x^2$ необходимо найти координаты нескольких точек, принадлежащих ее графику. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола с вершиной в начале координат $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

Составим таблицу значений, выбирая значения $x$ так, чтобы было удобно вычислять $y$:

При $x=0$, $y = \frac{1}{4} \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0; 0)$.
При $x=2$, $y = \frac{1}{4} \cdot 2^2 = \frac{4}{4} = 1$. Точка $(2; 1)$.
При $x=-2$, $y = \frac{1}{4} \cdot (-2)^2 = \frac{4}{4} = 1$. Точка $(-2; 1)$.
При $x=4$, $y = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = \frac{16}{4} = 4$. Точка $(4; 4)$.
При $x=-4$, $y = \frac{1}{4} \cdot (-4)^2 = \frac{16}{4} = 4$. Точка $(-4; 4)$.

Отметив эти точки в декартовой системе координат и соединив их плавной кривой, мы получим искомую параболу.

Ответ: Парабола $y = \frac{1}{4}x^2$ построена. Она проходит через точки $(0; 0)$, $(2; 1)$, $(-2; 1)$, $(4; 4)$, $(-4; 4)$.

2) В этой же системе координат проведите прямую d, уравнение которой y = -1, и отметьте точку F(0; 1).

Прямая $d$ с уравнением $y = -1$ — это горизонтальная прямая, которая проходит через все точки с ординатой (координатой $y$), равной $-1$. Она параллельна оси абсцисс ($Ox$) и пересекает ось ординат ($Oy$) в точке $(0; -1)$.

Точка $F$ с координатами $(0; 1)$ расположена на оси ординат ($Oy$) на 1 единицу выше начала координат.

Ответ: В системе координат построена горизонтальная прямая $d$ на уровне $y = -1$ и отмечена точка $F$ с координатами $(0; 1)$.

3) Отметьте на параболе несколько точек с целыми координатами и для каждой из них вычислите расстояния до точки F и до прямой d.

Возьмем точки с целыми координатами, найденные в первом пункте: $A(0; 0)$, $B(2; 1)$ и $C(4; 4)$. Вычислим для каждой из них расстояние до точки $F(0; 1)$ и до прямой $d: y = -1$.

Расстояние между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до горизонтальной прямой $y=c$ вычисляется по формуле $d = |y_0 - c|$.

Для точки A(0; 0):
Расстояние до точки $F(0; 1)$: $AF = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.
Расстояние до прямой $d: y=-1$: $d(A,d) = |0 - (-1)| = |1| = 1$.
Расстояния равны.

Для точки B(2; 1):
Расстояние до точки $F(0; 1)$: $BF = \sqrt{(0-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
Расстояние до прямой $d: y=-1$: $d(B,d) = |1 - (-1)| = |2| = 2$.
Расстояния равны.

Для точки C(4; 4):
Расстояние до точки $F(0; 1)$: $CF = \sqrt{(0-4)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
Расстояние до прямой $d: y=-1$: $d(C,d) = |4 - (-1)| = |5| = 5$.
Расстояния равны.

Ответ: Для точки $(0;0)$ расстояние до $F$ и до $d$ равно $1$. Для точки $(2;1)$ оба расстояния равны $2$. Для точки $(4;4)$ оба расстояния равны $5$.

4) Докажите, что любая точка параболы $y = \frac{1}{4}x^2$ находится на одинаковом расстоянии от точки F и от прямой d.

Возьмем произвольную точку $M$ на параболе $y = \frac{1}{4}x^2$. Ее координаты можно записать как $M(x; \frac{1}{4}x^2)$. Точка $F$ имеет координаты $(0; 1)$, а прямая $d$ задана уравнением $y = -1$. Нам нужно доказать, что расстояние $MF$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $d$.

1. Вычислим расстояние от точки $M$ до точки $F$.
По формуле расстояния между двумя точками: $MF = \sqrt{(x - 0)^2 + (\frac{1}{4}x^2 - 1)^2}$
Преобразуем подкоренное выражение: $x^2 + (\frac{1}{4}x^2 - 1)^2 = x^2 + (\frac{1}{16}x^4 - 2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 1 + 1) = x^2 + \frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 1 = \frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1$.
Это выражение является полным квадратом суммы $(\frac{1}{4}x^2 + 1)^2$: $(\frac{1}{4}x^2 + 1)^2 = (\frac{1}{4}x^2)^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 1 + 1^2 = \frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1$.
Значит, $MF = \sqrt{(\frac{1}{4}x^2 + 1)^2} = |\frac{1}{4}x^2 + 1|$.
Поскольку $x^2 \ge 0$, выражение $\frac{1}{4}x^2 + 1$ всегда положительно, поэтому модуль можно опустить: $MF = \frac{1}{4}x^2 + 1$.

2. Вычислим расстояние от точки $M$ до прямой $d$.
Расстояние от точки $M(x; \frac{1}{4}x^2)$ до прямой $y = -1$ равно модулю разности их $y$-координат: $d(M, d) = |\frac{1}{4}x^2 - (-1)| = |\frac{1}{4}x^2 + 1|$.
Так как $\frac{1}{4}x^2 + 1 > 0$ для любого $x$, то $d(M, d) = \frac{1}{4}x^2 + 1$.

3. Сравнение расстояний.
Мы получили, что $MF = \frac{1}{4}x^2 + 1$ и $d(M, d) = \frac{1}{4}x^2 + 1$.
Следовательно, $MF = d(M, d)$ для любой точки $M$ на параболе.

Ответ: Для произвольной точки $M(x; \frac{1}{4}x^2)$ на параболе расстояние до точки $F(0;1)$ и расстояние до прямой $d: y=-1$ равны $\frac{1}{4}x^2 + 1$. Равенство расстояний доказано.