Номер 229, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 229, страница 90.

229 Постройте график функции $y = \begin{cases} -x, \text{ если } x \le 1 \\ x^2, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Указание.

График состоит из двух частей. Подумайте, какой части принадлежит точка с абсциссой, равной 1, и исключите лишнюю точку, показав её стрелкой.

Для построения графика заданной кусочной функции $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le 1 \\ x^2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$ необходимо рассмотреть каждый участок отдельно.

1. График функции $y = -x$ при $x \le 1$

На промежутке $(-\infty, 1]$ функция задается формулой $y = -x$. Ее график — это прямая линия. Для построения достаточно двух точек. Возьмем граничную точку $x=1$. При $x=1$, $y=-1$. Так как неравенство $x \le 1$ нестрогое, точка $(1, -1)$ принадлежит графику. Отметим ее закрашенным (сплошным) кружком. В качестве второй точки возьмем $x=0$, тогда $y=0$. Графиком является луч, проходящий через точку $(0, 0)$ и заканчивающийся в точке $(1, -1)$.

2. График функции $y = x^2$ при $x > 1$

На промежутке $(1, +\infty)$ функция задается формулой $y = x^2$. Ее график — это часть параболы с ветвями вверх. Найдем значение функции на границе промежутка. При $x=1$, $y=1^2=1$. Поскольку неравенство $x>1$ строгое, точка $(1, 1)$ не принадлежит графику. Такую точку называют выколотой и на графике изображают пустым (незакрашенным) кружком. Это "лишняя точка", которую, согласно указанию, необходимо исключить. Для дальнейшего построения возьмем точку $x=2$, тогда $y=2^2=4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику. Таким образом, на этом промежутке график представляет собой часть параболы, начинающуюся от выколотой точки $(1, 1)$ и идущую вверх через точку $(2, 4)$.

3. Итоговый график функции

Объединяя оба построенных участка на одной координатной плоскости, получаем итоговый график. В точке $x=1$ функция имеет разрыв. Точка $(1, -1)$ является частью графика, а точка $(1, 1)$ — нет.

Ответ:

График функции состоит из луча прямой $y=-x$ на интервале $(-\infty, 1]$ (включая точку $(1, -1)$) и части параболы $y=x^2$ на интервале $(1, +\infty)$ (начиная с выколотой точки $(1, 1)$). График представлен на рисунке ниже.