Номер 228, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 228, страница 89.

228 Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \le 0 \\ 3x^2, & \text{если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ -x + 2, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Для каждой функции ответьте на вопрос: имеет ли функция наименьшее значение? наибольшее значение?

а)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \le 0 \\ 3x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

1. Построение графика.
График данной функции состоит из двух частей.

Первая часть – это график функции $y = x + 3$ на промежутке $(-\infty, 0]$. Это линейная функция, её график – прямая линия. Для построения достаточно двух точек. Возьмем граничную точку $x = 0$ и еще одну точку из этого промежутка, например $x = -3$.
При $x = 0$, $y = 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$ принадлежит графику (изображается закрашенным кружком).
При $x = -3$, $y = -3 + 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$ также принадлежит графику.
Таким образом, для $x \le 0$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(0, 3)$ и проходящий через точку $(-3, 0)$.

Вторая часть – это график функции $y = 3x^2$ на промежутке $(0, +\infty)$. Это квадратичная функция, её график – парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Нам нужна только правая ветвь этой параболы, соответствующая $x > 0$.
Найдем значение функции в граничной точке $x=0$, чтобы понять, куда "подходит" график: $y = 3 \cdot 0^2 = 0$. Так как неравенство $x > 0$ строгое, точка $(0, 0)$ не принадлежит графику (она будет "выколотой" и изображается пустым кружком).
Возьмем контрольную точку из этого промежутка, например $x = 1$.
При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1^2 = 3$. Точка $(1, 3)$ принадлежит графику.
Итоговый график состоит из луча и части параболы. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

2. Определение наименьшего и наибольшего значений.
Наименьшее значение: На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y = x+3$ не ограничена снизу, так как при $x \to -\infty$, значение $y$ также стремится к $-\infty$. Следовательно, вся функция не имеет наименьшего значения.

Наибольшее значение: На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = 3x^2$ не ограничена сверху, так как при $x \to +\infty$, значение $y$ также стремится к $+\infty$. Следовательно, вся функция не имеет наибольшего значения.

Ответ: Функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

б)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ -x + 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

1. Построение графика.
График данной функции состоит из двух частей.

Первая часть – это график функции $y = -2x^2$ на промежутке $(-\infty, 0)$. Это квадратичная функция, её график – парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Нам нужна только левая ветвь параболы для $x < 0$.
Найдем значение функции в граничной точке $x=0$: $y = -2 \cdot 0^2 = 0$. Так как неравенство $x < 0$ строгое, точка $(0, 0)$ не принадлежит графику (она будет "выколотой").
Возьмем контрольную точку из этого промежутка, например $x = -1$.
При $x = -1$, $y = -2 \cdot (-1)^2 = -2$. Точка $(-1, -2)$ принадлежит графику.

Вторая часть – это график функции $y = -x + 2$ на промежутке $[0, +\infty)$. Это линейная функция, её график – прямая линия. Возьмем граничную точку $x = 0$ и еще одну точку, например $x = 2$.
При $x = 0$, $y = -0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ принадлежит графику.
При $x = 2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(2, 0)$ принадлежит графику.
Таким образом, для $x \ge 0$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(0, 2)$ и проходящий через точку $(2, 0)$.
Итоговый график состоит из части параболы и луча. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

2. Определение наименьшего и наибольшего значений.
Наименьшее значение: На обоих промежутках, $(-\infty, 0)$ и $[0, +\infty)$, функция стремится к $-\infty$. При $x \to -\infty$, $y = -2x^2 \to -\infty$. При $x \to +\infty$, $y = -x+2 \to -\infty$. Следовательно, функция не ограничена снизу и не имеет наименьшего значения.

Наибольшее значение: Рассмотрим поведение функции на каждом из участков. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y = -2x^2$ принимает только отрицательные значения ($y < 0$), приближаясь к 0 при $x \to 0^-$. На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = -x+2$ является убывающей. Ее наибольшее значение достигается в левой граничной точке, то есть при $x = 0$. Это значение равно $y(0) = -0 + 2 = 2$.
Сравнивая значения функции на обоих промежутках, видим, что наибольшее значение функции равно 2.

Ответ: Функция имеет наибольшее значение $y_{наиб.} = 2$, но не имеет наименьшего значения.