Номер 221, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 221, страница 88.

221 На рисунке 2.15 даны графики квадратичных функций, заданных формулами:

$y = 3,2x^2$, $y = -0,6x^2$,

$y = 1,6x^2$, $y = -2\frac{1}{2}x^2$,

$y = -\frac{1}{3}x^2$, $y = \frac{1}{4}x^2$.

Соотнесите каждый из них с одной из формул.

222 В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$;

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$;

в) $y = -0,5x^2$ и $y = \frac{4}{x}$;

221

Все представленные функции имеют вид $y = ax^2$. Характер графика зависит от коэффициента $a$.

1. Направление ветвей параболы. Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.

• Вверх направлены ветви у графиков 1, 2, 3. Им соответствуют формулы с $a > 0$: $y = 3,2x^2$, $y = 1,6x^2$ и $y = \frac{1}{4}x^2$.
• Вниз направлены ветви у графиков 4, 5, 6. Им соответствуют формулы с $a < 0$: $y = -0,6x^2$, $y = -2\frac{1}{2}x^2$ и $y = -\frac{1}{3}x^2$.

2. Ширина параболы. Чем больше абсолютное значение коэффициента $|a|$, тем "уже" график параболы (он сильнее прижат к оси OY). Чем меньше $|a|$, тем "шире" график.

Сопоставление для парабол с ветвями вверх ($a > 0$):

Коэффициенты: $3,2$; $1,6$; $\frac{1}{4} = 0,25$.

Сравниваем их: $3,2 > 1,6 > 0,25$.

• Самый большой коэффициент $a = 3,2$ соответствует самой узкой параболе — графику 1. Следовательно, график 1 это $y = 3,2x^2$.
• Коэффициент $a = 1,6$ соответствует параболе "средней" ширины — графику 2. Следовательно, график 2 это $y = 1,6x^2$.
• Самый маленький коэффициент $a = 0,25$ соответствует самой широкой параболе — графику 3. Следовательно, график 3 это $y = \frac{1}{4}x^2$.

Сопоставление для парабол с ветвями вниз ($a < 0$):

Коэффициенты: $-0,6$; $-2\frac{1}{2} = -2,5$; $-\frac{1}{3} \approx -0,33$.

Сравниваем их абсолютные значения: $|-2,5| > |-0,6| > |-\frac{1}{3}|$, то есть $2,5 > 0,6 > 0,33...$.

• Самое большое абсолютное значение $|a| = 2,5$ соответствует самой узкой параболе — графику 6. Следовательно, график 6 это $y = -2\frac{1}{2}x^2$.
• Следующее по величине абсолютное значение $|a| = 0,6$ соответствует параболе "средней" ширины — графику 5. Следовательно, график 5 это $y = -0,6x^2$.
• Самое маленькое абсолютное значение $|a| \approx 0,33$ соответствует самой широкой параболе — графику 4. Следовательно, график 4 это $y = -\frac{1}{3}x^2$.

Ответ: 1 — $y = 3,2x^2$; 2 — $y = 1,6x^2$; 3 — $y = \frac{1}{4}x^2$; 4 — $y = -\frac{1}{3}x^2$; 5 — $y = -0,6x^2$; 6 — $y = -2\frac{1}{2}x^2$.

222

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, нужно приравнять их правые части и решить полученное уравнение относительно $x$. Затем найти соответствующее значение $y$, подставив найденный $x$ в уравнение любой из исходных функций.

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$

Приравниваем правые части уравнений:

$\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x + 1$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь находим соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{1}{2}(2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = \frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, точки пересечения: $(2, 2)$ и $(-1, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(2, 2)$, $(-1, \frac{1}{2})$.

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$

Приравниваем правые части уравнений:

$2x^2 = -2x + 4$

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

Разделим обе части на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Находим соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2(1)^2 = 2$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$.

Таким образом, точки пересечения: $(1, 2)$ и $(-2, 8)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-2, 8)$.

в) $y = -0,5x^2$ и $y = \frac{4}{x}$

Приравниваем правые части уравнений. Область допустимых значений: $x \neq 0$.

$-0,5x^2 = \frac{4}{x}$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$-0,5x^3 = 4$

Умножим обе части на -2:

$x^3 = -8$

Извлекаем кубический корень:

$x = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Находим соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в любое из уравнений:

$y = -0,5(-2)^2 = -0,5 \cdot 4 = -2$.

Проверка по второму уравнению: $y = \frac{4}{-2} = -2$.

Таким образом, точка пересечения: $(-2, -2)$.

Ответ: $(-2, -2)$.