Номер 215, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 215, страница 87.

215 Функция задана формулой $y = \frac{1}{3}x^2$.

1) Заполните таблицу для некоторых неотрицательных значений $x$ и постройте график функции:

$x$: 0, 1, 3, 6

$y$:

2) Найдите по графику значение $y$ при $x$, равном 1,5; -2,5.

3) Найдите по графику значения $x$, при которых $y = 3,5; 4$.

4) Проходит ли график функции через точку (–51; 867)? (1,8; 3,24)? (–1,2; 0,5)?

1) Заполните таблицу для некоторых неотрицательных значений x и постройте график функции:

Для заполнения таблицы подставим заданные значения x в формулу функции $y = \frac{1}{3}x^2$.
При $x = 0$: $y = \frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$.
При $x = 1$: $y = \frac{1}{3} \cdot 1^2 = \frac{1}{3}$.
При $x = 3$: $y = \frac{1}{3} \cdot 3^2 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.
При $x = 6$: $y = \frac{1}{3} \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$.

Заполненная таблица:

x	0	1	3	6
y	0	$\frac{1}{3}$	3	12

Для построения графика функции $y = \frac{1}{3}x^2$ на координатной плоскости отмечают точки, координаты которых мы нашли: (0; 0), (1; 1/3), (3; 3), (6; 12). Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси Oy. Отметим также симметричные точки: (-1; 1/3), (-3; 3), (-6; 12). Соединив все эти точки плавной кривой, получим график функции — параболу с вершиной в начале координат (0; 0) и ветвями, направленными вверх.

Ответ: Таблица заполнена выше. График функции — это парабола с вершиной в точке (0; 0) и ветвями вверх, проходящая, например, через точки (3; 3), (-3; 3), (6; 12), (-6; 12).

2) Найдите по графику значение y при x, равном 1,5; –2,5.

Поиск значений по графику дает приблизительный результат. Для нахождения точных значений y подставим соответствующие значения x в формулу функции $y = \frac{1}{3}x^2$.
При $x = 1,5$: $y = \frac{1}{3}(1,5)^2 = \frac{1}{3} \cdot 2,25 = 0,75$.
При $x = -2,5$: $y = \frac{1}{3}(-2,5)^2 = \frac{1}{3} \cdot 6,25 = \frac{6,25}{3} = \frac{25}{12}$.

Ответ: При $x = 1,5$, $y = 0,75$. При $x = -2,5$, $y = \frac{25}{12}$ (или $y \approx 2,08$).

3) Найдите по графику значения x, при которых y = 3,5; 4.

Поиск значений по графику дает приблизительный результат. Для нахождения точных значений x решим уравнение $y = \frac{1}{3}x^2$ относительно x: $x^2 = 3y \implies x = \pm\sqrt{3y}$.
При $y = 3,5$: $x = \pm\sqrt{3 \cdot 3,5} = \pm\sqrt{10,5}$.
При $y = 4$: $x = \pm\sqrt{3 \cdot 4} = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$.

Ответ: При $y = 3,5$, $x = \pm\sqrt{10,5}$ (или $x \approx \pm3,24$). При $y = 4$, $x = \pm2\sqrt{3}$ (или $x \approx \pm3,46$).

4) Проходит ли график функции через точку (–51; 867)? (1,8; 3,24)? (–1,2; 0,5)?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты $(x_0; y_0)$ в уравнение $y = \frac{1}{3}x^2$ и проверить истинность получившегося равенства.
• Точка (–51; 867): $867 = \frac{1}{3}(-51)^2 \implies 867 = \frac{2601}{3} \implies 867 = 867$. Равенство верно, значит, график проходит через эту точку.
• Точка (1,8; 3,24): $3,24 = \frac{1}{3}(1,8)^2 \implies 3,24 = \frac{3,24}{3} \implies 3,24 = 1,08$. Равенство неверно, значит, график не проходит через эту точку.
• Точка (–1,2; 0,5): $0,5 = \frac{1}{3}(-1,2)^2 \implies 0,5 = \frac{1,44}{3} \implies 0,5 = 0,48$. Равенство неверно, значит, график не проходит через эту точку.

Ответ: График проходит через точку (–51; 867) и не проходит через точки (1,8; 3,24) и (–1,2; 0,5).