Номер 212, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 212, страница 81.

212 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПЛАНУ

Постройте график функции:

а) $y = x^2 + 4x + 7;$

б) $y = -2x^2 + 4x - 4.$

При построении пользуйтесь следующим планом:

1) найдите пару симметричных точек параболы, взяв, например, в качестве одной из них точку пересечения с осью $y$;

2) далее действуйте по плану, приведённому в упражнении 209, начиная с пункта 2.

Как вы думаете, почему в данном случае первый пункт был заменён? Предложите ещё какой-нибудь способ нахождения координат симметричных точек параболы.

а) $y = x^2 + 4x + 7$

Для построения графика функции следуем предложенному плану.

1. Найдём пару симметричных точек параболы. В качестве одной из них возьмём точку пересечения графика с осью $y$. Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 7 = 7$.

Таким образом, одна из точек — это точка пересечения с осью ординат $(0, 7)$.

Все точки параболы симметричны относительно её оси. Найдём уравнение оси симметрии по формуле $x_v = -b/(2a)$. Для данной функции $a=1, b=4$.

$x_v = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2$.

Ось симметрии — прямая $x = -2$.

Найдём точку, симметричную точке $(0, 7)$ относительно прямой $x=-2$. У симметричной точки будет та же ордината $y=7$. Её абсцисса $x_s$ находится на том же расстоянии от оси симметрии, что и $x=0$. Расстояние от $x=0$ до $x=-2$ равно $|0 - (-2)| = 2$. Следовательно, $x_s = -2 - 2 = -4$.

Симметричная точка имеет координаты $(-4, 7)$. Проверим: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 7 = 16 - 16 + 7 = 7$.

Итак, мы нашли пару симметричных точек: $(0, 7)$ и $(-4, 7)$.

2. Далее действуем по стандартному плану построения параболы. Найдём координаты вершины. Абсцисса вершины совпадает с осью симметрии: $x_v = -2$. Найдём ординату вершины, подставив $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = (-2)^2 + 4(-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.

Координаты вершины параболы — $(-2, 3)$.

3. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх.

4. Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(-2, 3)$ и симметричные точки $(0, 7)$ и $(-4, 7)$. Соединив эти точки плавной линией, получим эскиз параболы.

Ответ: График функции $y = x^2 + 4x + 7$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, 3)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, 7)$ и проходит через симметричную ей точку $(-4, 7)$.

б) $y = -2x^2 + 4x - 4$

1. Найдём пару симметричных точек. Найдём точку пересечения с осью $y$, подставив $x=0$:

$y(0) = -2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 - 4 = -4$.

Точка пересечения с осью $y$ — $(0, -4)$.

Найдём ось симметрии. Для данной функции $a=-2, b=4$.

$x_v = \frac{-4}{2 \cdot (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$.

Ось симметрии — прямая $x=1$.

Найдём точку, симметричную точке $(0, -4)$ относительно прямой $x=1$. Ордината останется той же, $y=-4$. Абсцисса $x_s = 1 + (1 - 0) = 2$.

Симметричная точка — $(2, -4)$. Проверим: $y(2) = -2(2)^2 + 4(2) - 4 = -8 + 8 - 4 = -4$.

Пара симметричных точек: $(0, -4)$ и $(2, -4)$.

2. Найдём координаты вершины. Абсцисса вершины $x_v = 1$. Ордината вершины:

$y_v = -2(1)^2 + 4(1) - 4 = -2 + 4 - 4 = -2$.

Координаты вершины — $(1, -2)$.

3. Определим направление ветвей. Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4. Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(1, -2)$ и симметричные точки $(0, -4)$ и $(2, -4)$. Соединим их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -2x^2 + 4x - 4$ — это парабола с вершиной в точке $(1, -2)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, -4)$ и проходит через симметричную ей точку $(2, -4)$.

Как вы думаете, почему в данном случае первый пункт был заменён?

Стандартный план построения графика параболы часто включает в себя нахождение точек пересечения с осью абсцисс (осью $x$). Эти точки, называемые нулями функции, находятся при решении уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для нахождения корней необходимо вычислить дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

Для функции $y = x^2 + 4x + 7$: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.

Для функции $y = -2x^2 + 4x - 4$: $D = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-4) = 16 - 32 = -16$.

В обоих случаях дискриминант отрицателен ($D < 0$), что означает отсутствие действительных корней у квадратных уравнений. Геометрически это значит, что ни одна из парабол не пересекает ось $x$. Поэтому пункт плана "найти точки пересечения с осью $x$" невыполним. Его заменили на другой, всегда выполнимый шаг: нахождение точки пересечения с осью $y$ (она всегда существует и единственна для функции) и симметричной ей точки. Это позволяет сразу получить две точки для построения графика.

Ответ: Первый пункт плана был заменён, потому что у данных квадратичных функций нет точек пересечения с осью $x$ (дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен).

Предложите ещё какой-нибудь способ нахождения координат симметричных точек параболы.

Существует несколько способов нахождения симметричных точек параболы. Вот один из них:

1. Найти координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

2. Выбрать произвольное значение абсциссы $x_1$, не равное $x_v$. Удобно выбирать целые числа, близкие к $x_v$. Например, можно взять $x_1 = x_v + d$, где $d$ — некоторое число, не равное нулю.

3. Вычислить соответствующее значение ординаты $y_1 = f(x_1)$.

4. Симметричная точка будет иметь абсциссу $x_2 = x_v - d$. Ордината симметричной точки будет такой же, как у первой точки: $y_2 = y_1$.

Например, для параболы $y = x^2 + 4x + 7$ вершина находится в точке $(-2, 3)$. Выберем $d=1$. Тогда первая точка имеет абсциссу $x_1 = -2 + 1 = -1$. Ордината $y_1 = (-1)^2 + 4(-1) + 7 = 1 - 4 + 7 = 4$. Получили точку $(-1, 4)$. Симметричная ей точка будет иметь абсциссу $x_2 = -2 - 1 = -3$ и ту же ординату $y_2=4$. Получили пару симметричных точек $(-1, 4)$ и $(-3, 4)$.

Ответ: Можно найти вершину параболы $(x_v, y_v)$, затем выбрать две абсциссы, равноудалённые от $x_v$ (например, $x_v+d$ и $x_v-d$ при $d \ne 0$), и вычислить для них ординату, которая будет одинаковой. Это даст пару симметричных точек.