Номер 217, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 217, страница 87.

217 1) В одной системе координат постройте график функции $f(x)=\frac{1}{4}x^2$ и график функции $g(x)=-\frac{1}{4}x^2$.

2) Вычислите значение выражения $f(10)$. Чему равно значение выражения $g(10)$?

3) График какой из функций — $y = f(x)$ или $y = g(x)$ — пересекает прямую $y = 100$? $y = -400$? Укажите координаты точек пересечения.

1) Графики функций $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ и $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ являются параболами с вершиной в начале координат $(0, 0)$.
Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{4} > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.
Для функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-\frac{1}{4} < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.
График функции $g(x)$ является зеркальным отражением графика $f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox).
Для построения графиков найдем координаты нескольких контрольных точек:
Точки для $f(x)$: $(-4, 4), (-2, 1), (0, 0), (2, 1), (4, 4)$.
Точки для $g(x)$: $(-4, -4), (-2, -1), (0, 0), (2, -1), (4, -4)$.
Соединив точки плавными линиями, мы получим два графика в одной системе координат.
Ответ: Построены графики. График $y=f(x)$ — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. График $y=g(x)$ — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз.

2) Для вычисления значения выражения $f(10)$, подставим $x=10$ в уравнение функции $f(x)=\frac{1}{4}x^2$:
$f(10) = \frac{1}{4} \cdot (10)^2 = \frac{1}{4} \cdot 100 = 25$.
Для вычисления значения выражения $g(10)$, подставим $x=10$ в уравнение функции $g(x)=-\frac{1}{4}x^2$:
$g(10) = -\frac{1}{4} \cdot (10)^2 = -\frac{1}{4} \cdot 100 = -25$.
Также можно было заметить, что $g(x) = -f(x)$, поэтому $g(10) = -f(10) = -25$.
Ответ: $f(10) = 25$, $g(10) = -25$.

3) Чтобы определить, какой график пересекает заданные прямые, проанализируем области значений функций.
Функция $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ принимает только неотрицательные значения ($y \ge 0$). Следовательно, её график может пересекать только прямую $y=100$.
Найдем точки пересечения, решив уравнение $f(x) = 100$:
$\frac{1}{4}x^2 = 100$
$x^2 = 400$
$x = \pm\sqrt{400}$
$x_1 = 20, x_2 = -20$.
Координаты точек пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=100$: $(20, 100)$ и $(-20, 100)$.

Функция $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ принимает только неположительные значения ($y \le 0$). Следовательно, её график может пересекать только прямую $y=-400$.
Найдем точки пересечения, решив уравнение $g(x) = -400$:
$-\frac{1}{4}x^2 = -400$
$x^2 = 1600$
$x = \pm\sqrt{1600}$
$x_1 = 40, x_2 = -40$.
Координаты точек пересечения графика $y=g(x)$ с прямой $y=-400$: $(40, -400)$ и $(-40, -400)$.
Ответ: График функции $y=f(x)$ пересекает прямую $y=100$ в точках с координатами $(-20, 100)$ и $(20, 100)$. График функции $y=g(x)$ пересекает прямую $y=-400$ в точках с координатами $(-40, -400)$ и $(40, -400)$.