Номер 223, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 223, страница 89.

223 Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le 0 \\ -x^2, \text{ если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -2x^2, \text{ если } x < 0 \\ 2x^2, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} 2x^2, \text{ если } x \le 0 \\ -\frac{1}{2}x^2, \text{ если } x > 0; \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} -x^2, \text{ если } x < 0 \\ 0,5x^2, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Для каждой функции определите, является ли она возрастающей или убывающей.

а)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0 \\ -x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика. График состоит из двух частей.
1. При $x \le 0$ строим график функции $y = x^2$. Это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для построения возьмем контрольные точки: $(0, 0)$, $(-1, 1)$, $(-2, 4)$.
2. При $x > 0$ строим график функции $y = -x^2$. Это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Контрольные точки: $(1, -1)$, $(2, -4)$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика, но график стремится к ней.
Соединив обе части, получаем непрерывный график, проходящий через начало координат.

Определение монотонности.
На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y = x^2$ убывает (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).
На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = -x^2$ также убывает.
Рассмотрим любые два значения $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$. Если $x_1 \le 0$ и $x_2 > 0$, то $y(x_1) = x_1^2 \ge 0$, а $y(x_2) = -x_2^2 < 0$. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$.
Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, значит, функция убывает на всей области определения.

Ответ: График состоит из левой ветви параболы $y=x^2$ и правой ветви параболы $y=-x^2$. Функция является убывающей.

---

б)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика. График состоит из двух частей.
1. При $x < 0$ строим график функции $y = -2x^2$. Это левая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$, ветвями вниз и растянутой вдоль оси OY. Контрольные точки: $(-1, -2)$, $(-2, -8)$.
2. При $x \ge 0$ строим график функции $y = 2x^2$. Это правая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$, ветвями вверх и растянутой вдоль оси OY. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(2, 8)$.
Обе части соединяются в точке $(0, 0)$, образуя непрерывный график.

Определение монотонности.
На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y = -2x^2$ возрастает.
На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = 2x^2$ также возрастает.
Рассмотрим любые два значения $x_1 < 0$ и $x_2 \ge 0$. Тогда $y(x_1) = -2x_1^2 < 0$, а $y(x_2) = 2x_2^2 \ge 0$. Следовательно, $y(x_1) < y(x_2)$.
Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, значит, функция возрастает на всей области определения.

Ответ: График состоит из левой ветви параболы $y=-2x^2$ и правой ветви параболы $y=2x^2$. Функция является возрастающей.

---

в)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \le 0 \\ -\frac{1}{2}x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика. График состоит из двух частей.
1. При $x \le 0$ строим график $y = 2x^2$. Это левая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$, ветвями вверх, растянутой вдоль оси OY. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(-1, 2)$, $(-2, 8)$.
2. При $x > 0$ строим график $y = -\frac{1}{2}x^2$. Это правая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$, ветвями вниз, сжатой к оси OX. Контрольные точки: $(1, -0.5)$, $(2, -2)$.
Обе части соединяются в точке $(0, 0)$, образуя непрерывный график.

Определение монотонности.
На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y = 2x^2$ убывает.
На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = -\frac{1}{2}x^2$ также убывает.
Рассмотрим любые $x_1 \le 0$ и $x_2 > 0$. Тогда $y(x_1) = 2x_1^2 \ge 0$, а $y(x_2) = -\frac{1}{2}x_2^2 < 0$. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$.
Функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: График состоит из левой ветви параболы $y=2x^2$ и правой ветви параболы $y=-\frac{1}{2}x^2$. Функция является убывающей.

---

г)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 0 \\ 0,5x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика. График состоит из двух частей.
1. При $x < 0$ строим график $y = -x^2$. Это левая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$ и ветвями вниз. Контрольные точки: $(-1, -1)$, $(-2, -4)$.
2. При $x \ge 0$ строим график $y = 0,5x^2$ (или $y = \frac{1}{2}x^2$). Это правая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$, ветвями вверх, сжатой к оси OX. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 0.5)$, $(2, 2)$.
Обе части соединяются в точке $(0, 0)$, образуя непрерывный график.

Определение монотонности.
На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y = -x^2$ возрастает.
На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = 0,5x^2$ также возрастает.
Рассмотрим любые $x_1 < 0$ и $x_2 \ge 0$. Тогда $y(x_1) = -x_1^2 < 0$, а $y(x_2) = 0,5x_2^2 \ge 0$. Следовательно, $y(x_1) < y(x_2)$.
Функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: График состоит из левой ветви параболы $y=-x^2$ и правой ветви параболы $y=0,5x^2$. Функция является возрастающей.