Номер 230, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 230, страница 90.

230 В одной системе координат постройте графики функций:

а) $y = |x|$ и $y = -|x|$;

б) $y = \sqrt{x}$ и $y = -\sqrt{x}$;

в) $y = x^3$ и $y = -x^3$;

г) $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$.

Во всех представленных парах функций вида $y = f(x)$ и $y = -f(x)$ график второй функции является зеркальным отражением графика первой функции относительно оси абсцисс (оси Ox). Это происходит потому, что для каждой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику $y = f(x)$, точка $(x_0, -y_0)$ будет принадлежать графику $y = -f(x)$.

а) Для построения графиков функций $y = |x|$ и $y = -|x|$ сначала рассмотрим $y = |x|$.
По определению модуля: $y = x$, если $x \ge 0$. Это биссектриса I координатного угла. $y = -x$, если $x < 0$. Это биссектриса II координатного угла. График функции $y = |x|$ представляет собой "галочку" (или букву V) с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вверх.
График функции $y = -|x|$ симметричен графику $y = |x|$ относительно оси Ox. Он также представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0,0)$, но его ветви направлены вниз.
Ответ: Графики представляют собой две "галочки" с общей вершиной в начале координат, симметричные друг другу относительно оси Ox. Ветви одной направлены вверх, а другой — вниз.

б) Для построения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -\sqrt{x}$ сначала рассмотрим $y = \sqrt{x}$.
Область определения этой функции $x \ge 0$. График представляет собой верхнюю ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Он начинается в точке $(0,0)$ и проходит через точки $(1,1)$, $(4,2)$, $(9,3)$. График расположен в I координатной четверти.
График функции $y = -\sqrt{x}$ симметричен графику $y = \sqrt{x}$ относительно оси Ox. Он представляет собой нижнюю ветвь той же параболы. График также начинается в точке $(0,0)$ и проходит через точки $(1,-1)$, $(4,-2)$, $(9,-3)$. График расположен в IV координатной четверти.
Ответ: Два графика вместе образуют параболу $x = y^2$ с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вправо вдоль оси Ox.

в) Для построения графиков функций $y = x^3$ и $y = -x^3$ сначала рассмотрим $y = x^3$.
График этой функции называется кубической параболой. Он проходит через начало координат и симметричен относительно него. Для построения найдем несколько точек: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$. График расположен в I и III координатных четвертях.
График функции $y = -x^3$ симметричен графику $y = x^3$ относительно оси Ox. Он также является кубической параболой, проходящей через начало координат. Его точки: $(-2, 8)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -8)$. График расположен во II и IV координатных четвертях.
Ответ: Графики представляют собой две кубические параболы, проходящие через начало координат и симметричные друг другу относительно оси Ox и оси Oy.

г) Для построения графиков функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$ сначала рассмотрим $y = \frac{2}{x}$.
График этой функции — гипербола. Область определения $x \ne 0$. Оси координат являются асимптотами. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Точки для построения: $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(4, 0.5)$ для первой ветви и $(-1, -2)$, $(-2, -1)$, $(-4, -0.5)$ для второй.
График функции $y = -\frac{2}{x}$ симметричен графику $y = \frac{2}{x}$ относительно оси Ox. Это также гипербола с теми же асимптотами, но ее ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Точки для построения: $(-1, 2)$, $(-2, 1)$ для одной ветви и $(1, -2)$, $(2, -1)$ для другой.
Ответ: Графики представляют собой две гиперболы с асимптотами Ox и Oy, симметричные друг другу относительно оси Ox. Ветви первой гиперболы находятся в I и III квадрантах, а второй — во II и IV.