Номер 232, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 232, страница 90.

232 Исследуем

1) Постройте параболу $y = \frac{1}{4}x^2$.

2) В этой же системе координат проведите прямую $d$, уравнение которой $y = -1$, и отметьте точку $F(0; 1)$.

3) Отметьте на параболе несколько точек с целыми координатами и для каждой из них вычислите расстояния до точки $F$ и до прямой $d$.

4) Докажите, что любая точка параболы $y = \frac{1}{4}x^2$ находится на одинаковом расстоянии от точки $F$ и от прямой $d$.

Подсказка. Возьмите произвольную точку параболы $\left(x; \frac{1}{4}x^2\right)$.

Составьте выражения для нахождения расстояний от этой точки до точки $F$ и до прямой $d$.

1) Постройте параболу $y = \frac{1}{4}x^2$.

Для построения параболы $y = \frac{1}{4}x^2$ необходимо найти координаты нескольких точек, принадлежащих ее графику. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола с вершиной в начале координат $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

Составим таблицу значений, выбирая значения $x$ так, чтобы было удобно вычислять $y$:

При $x=0$, $y = \frac{1}{4} \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0; 0)$.
При $x=2$, $y = \frac{1}{4} \cdot 2^2 = \frac{4}{4} = 1$. Точка $(2; 1)$.
При $x=-2$, $y = \frac{1}{4} \cdot (-2)^2 = \frac{4}{4} = 1$. Точка $(-2; 1)$.
При $x=4$, $y = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = \frac{16}{4} = 4$. Точка $(4; 4)$.
При $x=-4$, $y = \frac{1}{4} \cdot (-4)^2 = \frac{16}{4} = 4$. Точка $(-4; 4)$.

Отметив эти точки в декартовой системе координат и соединив их плавной кривой, мы получим искомую параболу.

Ответ: Парабола $y = \frac{1}{4}x^2$ построена. Она проходит через точки $(0; 0)$, $(2; 1)$, $(-2; 1)$, $(4; 4)$, $(-4; 4)$.

2) В этой же системе координат проведите прямую d, уравнение которой y = -1, и отметьте точку F(0; 1).

Прямая $d$ с уравнением $y = -1$ — это горизонтальная прямая, которая проходит через все точки с ординатой (координатой $y$), равной $-1$. Она параллельна оси абсцисс ($Ox$) и пересекает ось ординат ($Oy$) в точке $(0; -1)$.

Точка $F$ с координатами $(0; 1)$ расположена на оси ординат ($Oy$) на 1 единицу выше начала координат.

Ответ: В системе координат построена горизонтальная прямая $d$ на уровне $y = -1$ и отмечена точка $F$ с координатами $(0; 1)$.

3) Отметьте на параболе несколько точек с целыми координатами и для каждой из них вычислите расстояния до точки F и до прямой d.

Возьмем точки с целыми координатами, найденные в первом пункте: $A(0; 0)$, $B(2; 1)$ и $C(4; 4)$. Вычислим для каждой из них расстояние до точки $F(0; 1)$ и до прямой $d: y = -1$.

Расстояние между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до горизонтальной прямой $y=c$ вычисляется по формуле $d = |y_0 - c|$.

Для точки A(0; 0):
Расстояние до точки $F(0; 1)$: $AF = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.
Расстояние до прямой $d: y=-1$: $d(A,d) = |0 - (-1)| = |1| = 1$.
Расстояния равны.

Для точки B(2; 1):
Расстояние до точки $F(0; 1)$: $BF = \sqrt{(0-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
Расстояние до прямой $d: y=-1$: $d(B,d) = |1 - (-1)| = |2| = 2$.
Расстояния равны.

Для точки C(4; 4):
Расстояние до точки $F(0; 1)$: $CF = \sqrt{(0-4)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
Расстояние до прямой $d: y=-1$: $d(C,d) = |4 - (-1)| = |5| = 5$.
Расстояния равны.

Ответ: Для точки $(0;0)$ расстояние до $F$ и до $d$ равно $1$. Для точки $(2;1)$ оба расстояния равны $2$. Для точки $(4;4)$ оба расстояния равны $5$.

4) Докажите, что любая точка параболы $y = \frac{1}{4}x^2$ находится на одинаковом расстоянии от точки F и от прямой d.

Возьмем произвольную точку $M$ на параболе $y = \frac{1}{4}x^2$. Ее координаты можно записать как $M(x; \frac{1}{4}x^2)$. Точка $F$ имеет координаты $(0; 1)$, а прямая $d$ задана уравнением $y = -1$. Нам нужно доказать, что расстояние $MF$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $d$.

1. Вычислим расстояние от точки $M$ до точки $F$.
По формуле расстояния между двумя точками: $MF = \sqrt{(x - 0)^2 + (\frac{1}{4}x^2 - 1)^2}$
Преобразуем подкоренное выражение: $x^2 + (\frac{1}{4}x^2 - 1)^2 = x^2 + (\frac{1}{16}x^4 - 2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 1 + 1) = x^2 + \frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 1 = \frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1$.
Это выражение является полным квадратом суммы $(\frac{1}{4}x^2 + 1)^2$: $(\frac{1}{4}x^2 + 1)^2 = (\frac{1}{4}x^2)^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 1 + 1^2 = \frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1$.
Значит, $MF = \sqrt{(\frac{1}{4}x^2 + 1)^2} = |\frac{1}{4}x^2 + 1|$.
Поскольку $x^2 \ge 0$, выражение $\frac{1}{4}x^2 + 1$ всегда положительно, поэтому модуль можно опустить: $MF = \frac{1}{4}x^2 + 1$.

2. Вычислим расстояние от точки $M$ до прямой $d$.
Расстояние от точки $M(x; \frac{1}{4}x^2)$ до прямой $y = -1$ равно модулю разности их $y$-координат: $d(M, d) = |\frac{1}{4}x^2 - (-1)| = |\frac{1}{4}x^2 + 1|$.
Так как $\frac{1}{4}x^2 + 1 > 0$ для любого $x$, то $d(M, d) = \frac{1}{4}x^2 + 1$.

3. Сравнение расстояний.
Мы получили, что $MF = \frac{1}{4}x^2 + 1$ и $d(M, d) = \frac{1}{4}x^2 + 1$.
Следовательно, $MF = d(M, d)$ для любой точки $M$ на параболе.

Ответ: Для произвольной точки $M(x; \frac{1}{4}x^2)$ на параболе расстояние до точки $F(0;1)$ и расстояние до прямой $d: y=-1$ равны $\frac{1}{4}x^2 + 1$. Равенство расстояний доказано.