Номер 238, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 238, страница 99.

238 Постройте график функции на заданной области определения и укажите её наименьшее и наибольшее значения:

а) $y = x^2 - 3$, где $-2 \le x \le 3$;

б) $y = -3x^2 + 2$, где $-2 \le x \le 2$;

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$, где $-4 \le x \le 0$;

г) $y = 4 - \frac{1}{4}x^2$, где $-4 \le x \le 2$.

а) $y = x^2 - 3$, где $-2 \le x \le 3$

Заданная функция $y = x^2 - 3$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число). График получен смещением параболы $y=x^2$ на 3 единицы вниз по оси $Oy$.

Вершина параболы находится в точке с координатами $x_v = 0$, $y_v = 0^2 - 3 = -3$. То есть в точке $(0, -3)$.

Для построения графика на отрезке $[-2, 3]$ найдем значения функции на концах отрезка и в вершине. Вершина с абсциссой $x=0$ принадлежит данному отрезку.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в вершине:
$y_{наим} = y(0) = -3$.

Найдем значения на концах отрезка:
$y(-2) = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
$y(3) = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$.

Сравнивая значения на концах отрезка, $1$ и $6$, выбираем большее. Наибольшее значение функции равно $6$.

Для построения графика соединяем плавной линией точки $(-2, 1)$, $(0, -3)$ и $(3, 6)$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -3$, наибольшее значение $y_{наиб} = 6$.

б) $y = -3x^2 + 2$, где $-2 \le x \le 2$

Заданная функция $y = -3x^2 + 2$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-3$, отрицательное число). График получен из параболы $y=x^2$ растяжением в 3 раза вдоль оси $Oy$, отражением относительно оси $Ox$ и смещением на 2 единицы вверх по оси $Oy$.

Вершина параболы находится в точке с координатами $x_v = 0$, $y_v = -3(0)^2 + 2 = 2$. То есть в точке $(0, 2)$.

Отрезок определения функции $[-2, 2]$. Абсцисса вершины $x=0$ принадлежит этому отрезку.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в вершине:
$y_{наиб} = y(0) = 2$.

Найдем значения на концах отрезка:
$y(-2) = -3(-2)^2 + 2 = -3 \cdot 4 + 2 = -12 + 2 = -10$.
$y(2) = -3(2)^2 + 2 = -3 \cdot 4 + 2 = -12 + 2 = -10$.

Наименьшее значение функции равно $-10$.

Для построения графика соединяем плавной линией точки $(-2, -10)$, $(0, 2)$ и $(2, -10)$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -10$, наибольшее значение $y_{наиб} = 2$.

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$, где $-4 \le x \le 0$

Функция $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$ — квадратичная. График — парабола с ветвями вверх (коэффициент $\frac{1}{2} > 0$).

Вершина параболы находится в точке $x_v = 0$, $y_v = \frac{1}{2}(0)^2 + 1 = 1$. То есть в точке $(0, 1)$.

Область определения — отрезок $[-4, 0]$. Абсцисса вершины $x=0$ является правым концом этого отрезка.

Так как ветви параболы направлены вверх, на отрезке $[-4, 0]$ (слева от вершины) функция является убывающей. Следовательно, наименьшее значение достигается на правом конце отрезка, а наибольшее — на левом.

Наименьшее значение (в вершине):
$y_{наим} = y(0) = 1$.

Наибольшее значение:
$y_{наиб} = y(-4) = \frac{1}{2}(-4)^2 + 1 = \frac{1}{2} \cdot 16 + 1 = 8 + 1 = 9$.

График функции представляет собой левую ветвь параболы от точки $(-4, 9)$ до вершины $(0, 1)$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 1$, наибольшее значение $y_{наиб} = 9$.

г) $y = 4 - \frac{1}{4}x^2$, где $-4 \le x \le 2$

Функция $y = 4 - \frac{1}{4}x^2$ — квадратичная. Ее можно переписать как $y = -\frac{1}{4}x^2 + 4$. График — парабола с ветвями вниз (коэффициент $-\frac{1}{4} < 0$).

Вершина параболы находится в точке $x_v = 0$, $y_v = 4 - \frac{1}{4}(0)^2 = 4$. То есть в точке $(0, 4)$.

Область определения — отрезок $[-4, 2]$. Абсцисса вершины $x=0$ принадлежит этому отрезку.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в вершине:
$y_{наиб} = y(0) = 4$.

Для нахождения наименьшего значения найдем значения функции на концах отрезка:
$y(-4) = 4 - \frac{1}{4}(-4)^2 = 4 - \frac{1}{4} \cdot 16 = 4 - 4 = 0$.
$y(2) = 4 - \frac{1}{4}(2)^2 = 4 - \frac{1}{4} \cdot 4 = 4 - 1 = 3$.

Сравнивая значения на концах отрезка, $0$ и $3$, выбираем меньшее. Наименьшее значение функции равно $0$.

График функции представляет собой часть параболы, проходящую через точки $(-4, 0)$, $(0, 4)$ и $(2, 3)$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4$.