Номер 241, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 241, страница 99.

241 С помощью схематического графика определите, имеет ли функция нули, и в случае утвердительного ответа найдите их, решив соответствующее уравнение:

а) $y=\frac{1}{3}x^2+3;$

б) $y=-\frac{1}{2}x^2-6;$

в) $y=3-\frac{1}{2}x^2;$

г) $y=\frac{1}{2}x^2-8.$

а) $y = \frac{1}{3}x^2 + 3$

Графиком данной функции является парабола вида $y = ax^2 + c$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{3}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; c)$, в данном случае это точка $(0; 3)$.
Поскольку вершина параболы находится в точке $(0; 3)$, то есть выше оси абсцисс, а ее ветви направлены вверх, весь график функции лежит выше оси Ox. Это означает, что график не пересекает ось Ox, и, следовательно, функция не имеет нулей.

Чтобы подтвердить это, решим соответствующее уравнение, приравняв $y$ к нулю:
$\frac{1}{3}x^2 + 3 = 0$
$\frac{1}{3}x^2 = -3$
$x^2 = -9$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 6$

Графиком функции является парабола. Коэффициент $a = -\frac{1}{2}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; c)$, то есть в точке $(0; -6)$.
Поскольку вершина параболы находится в точке $(0; -6)$, то есть ниже оси абсцисс, а ее ветви направлены вниз, весь график функции лежит ниже оси Ox. Следовательно, график не пересекает ось Ox, и функция не имеет нулей.

Решим уравнение, чтобы найти нули функции:
$-\frac{1}{2}x^2 - 6 = 0$
$-\frac{1}{2}x^2 = 6$
$x^2 = -12$
Уравнение не имеет действительных корней. Это подтверждает, что у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

в) $y = 3 - \frac{1}{2}x^2$

Перепишем функцию в виде $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$. Это парабола, у которой коэффициент $a = -\frac{1}{2} < 0$, значит, ветви направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 3)$.
Так как вершина параболы находится выше оси абсцисс, а ветви направлены вниз, график функции будет пересекать ось Ox в двух точках. Следовательно, функция имеет два нуля.

Найдем эти нули, решив уравнение $y=0$:
$3 - \frac{1}{2}x^2 = 0$
$3 = \frac{1}{2}x^2$
$x^2 = 6$
$x = \pm\sqrt{6}$
Ответ: $x_1 = -\sqrt{6}$, $x_2 = \sqrt{6}$.

г) $y = \frac{1}{2}x^2 - 8$

Графиком функции является парабола. Коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, поэтому ветви направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -8)$.
Так как вершина параболы находится ниже оси абсцисс, а ветви направлены вверх, график функции пересекает ось Ox в двух точках. Следовательно, функция имеет два нуля.

Найдем нули функции, решив уравнение $y=0$:
$\frac{1}{2}x^2 - 8 = 0$
$\frac{1}{2}x^2 = 8$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
Ответ: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.