Номер 248, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 248, страница 102.

248 Для каждой функции определите, какая линия является её графиком, и покажите схематически её положение в координатной плоскости:

а) $y = (x - 1)^2$, $y = 1 - x$, $y = - \frac{1}{x}$, $y = 1 - x^2$;

б) $y = 6 + x^2$, $y = (x + 6)^2$, $y = 6 + x$, $y = \frac{6}{x}$.

а)

Функция $y = (x - 1)^2$. Графиком является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, сдвинутая на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$, ветви направлены вверх. Ось симметрии — вертикальная прямая $x=1$. График пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$.
Схематическое положение: парабола с вершиной в точке $(1, 0)$ на оси Ох, открывающаяся вверх.
Ответ: Парабола с вершиной в точке $(1, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Функция $y = 1 - x$. Графиком является прямая линия. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -1$ и смещением $b = 1$. Прямая убывает и проходит через точки $(0, 1)$ (пересечение с осью Оу) и $(1, 0)$ (пересечение с осью Ох).
Схематическое положение: прямая, проходящая через I, II и IV координатные четверти, пересекая оси в точках $(1, 0)$ и $(0, 1)$.
Ответ: Прямая линия, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

Функция $y = -\frac{1}{x}$. Графиком является гипербола. Это стандартная гипербола $y = \frac{1}{x}$, отраженная относительно оси Ох (или Оу). Ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами.
Схематическое положение: две ветви кривой, расположенные во второй и четвертой четвертях, асимптотически приближающиеся к осям координат.
Ответ: Гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

Функция $y = 1 - x^2$. Графиком является парабола. Это парабола $y = -x^2$ (ветви направлены вниз), сдвинутая на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$, ветви направлены вниз. Ось симметрии — ось Оу ($x=0$). График пересекает ось абсцисс в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.
Схематическое положение: парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ на оси Оу, открывающаяся вниз.
Ответ: Парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вниз.

б)

Функция $y = 6 + x^2$. Графиком является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, сдвинутая на 6 единиц вверх вдоль оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(0, 6)$, ветви направлены вверх. Ось симметрии — ось Оу ($x=0$). График не пересекает ось абсцисс.
Схематическое положение: парабола с вершиной в точке $(0, 6)$ на оси Оу, открывающаяся вверх.
Ответ: Парабола с вершиной в точке $(0, 6)$ и ветвями, направленными вверх.

Функция $y = (x + 6)^2$. Графиком является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, сдвинутая на 6 единиц влево вдоль оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(-6, 0)$, ветви направлены вверх. Ось симметрии — вертикальная прямая $x=-6$. График пересекает ось ординат в точке $(0, 36)$.
Схематическое положение: парабола с вершиной в точке $(-6, 0)$ на оси Ох, открывающаяся вверх.
Ответ: Парабола с вершиной в точке $(-6, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Функция $y = 6 + x$. Графиком является прямая линия. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=1$ и смещением $b=6$. Прямая возрастает и проходит через точки $(0, 6)$ (пересечение с осью Оу) и $(-6, 0)$ (пересечение с осью Ох).
Схематическое положение: прямая, проходящая через I, II и III координатные четверти, пересекая оси в точках $(-6, 0)$ и $(0, 6)$.
Ответ: Прямая линия, проходящая через точки $(-6, 0)$ и $(0, 6)$.

Функция $y = \frac{6}{x}$. Графиком является гипербола. Коэффициент $k=6$ положительный, поэтому ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. График является растяжением гиперболы $y=\frac{1}{x}$ от оси Ох в 6 раз. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами. График проходит, например, через точки $(1, 6)$, $(2, 3)$, $(6, 1)$.
Схематическое положение: две ветви кривой, расположенные в первой и третьей четвертях, асимптотически приближающиеся к осям координат.
Ответ: Гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.