Номер 251, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 251, страница 102.

251 Постройте график функции. В качестве образца воспользуйтесь примером 4.

а) $y = x^2 - 2x + 3;$

б) $y = x^2 + 4x;$

в) $y = x^2 + 6x + 8;$

г) $y = x^2 - 4x + 4.$

Для построения графиков данных квадратичных функций $y = ax^2 + bx + c$ мы будем использовать метод выделения полного квадрата, чтобы привести уравнение к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Это позволит легко определить координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ и построить график, сдвигая базовую параболу $y = ax^2$.

а) $y = x^2 - 2x + 3$

1. Выделение полного квадрата.
Преобразуем правую часть уравнения: $y = x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 3 = (x - 1)^2 + 2$.
Таким образом, график данной функции — это парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вправо по оси абсцисс и на 2 единицы вверх по оси ординат.

2. Основные характеристики параболы.

• Вершина параболы находится в точке $(1; 2)$.
• Ось симметрии — вертикальная прямая $x = 1$.
• Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$. Точка пересечения — $(0; 3)$.
• С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 2x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось Ox.

4. Дополнительные точки.
Для точности построения найдем еще пару точек. Возьмем точку, симметричную точке $(0; 3)$ относительно оси симметрии $x=1$. Ее абсцисса будет $x = 2$. Ордината останется той же: $y(2) = 2^2 - 2(2) + 3 = 3$. Точка $(2; 3)$.
Возьмем $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$. Точка $(-1; 6)$.

5. Построение графика.
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1; 2)$, точку пересечения с осью Oy $(0; 3)$ и симметричную ей точку $(2; 3)$, а также точку $(-1; 6)$. Соединяем точки плавной линией, получая параболу.

Ответ: График функции $y = x^2 - 2x + 3$ — это парабола с вершиной в точке $(1; 2)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; 3)$ и не пересекает ось Ox.

б) $y = x^2 + 4x$

1. Выделение полного квадрата.
$y = x^2 + 4x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (x + 2)^2 - 4$.
График — парабола $y = x^2$, смещенная на 2 единицы влево и на 4 единицы вниз.

2. Основные характеристики параболы.

• Вершина параболы: $(-2; -4)$.
• Ось симметрии: $x = -2$.
• Ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью Oy ($x=0$): $y = 0^2 + 4(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.
• С осью Ox ($y=0$): $x^2 + 4x = 0 \implies x(x+4) = 0$. Корни $x_1=0$, $x_2=-4$. Точки $(0; 0)$ и $(-4; 0)$.

4. Построение графика.
Отмечаем вершину $(-2; -4)$ и точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(-4; 0)$. Этих трех точек достаточно для схематического построения параболы. Соединяем их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 + 4x$ — это парабола с вершиной в точке $(-2; -4)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; 0)$ и ось Ox в точках $(0; 0)$ и $(-4; 0)$.

в) $y = x^2 + 6x + 8$

1. Выделение полного квадрата.
$y = x^2 + 6x + 8 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 8 = (x + 3)^2 - 9 + 8 = (x + 3)^2 - 1$.
График — парабола $y = x^2$, смещенная на 3 единицы влево и на 1 единицу вниз.

2. Основные характеристики параболы.

• Вершина параболы: $(-3; -1)$.
• Ось симметрии: $x = -3$.
• Ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью Oy ($x=0$): $y = 0^2 + 6(0) + 8 = 8$. Точка $(0; 8)$.
• С осью Ox ($y=0$): $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-2$, $x_2=-4$. Точки $(-2; 0)$ и $(-4; 0)$.

4. Построение графика.
Отмечаем вершину $(-3; -1)$, точки пересечения с осью Ox $(-4; 0)$ и $(-2; 0)$, и точку пересечения с осью Oy $(0; 8)$. Для симметрии можно отметить точку $(-6; 8)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 + 6x + 8$ — это парабола с вершиной в точке $(-3; -1)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; 8)$ и ось Ox в точках $(-4; 0)$ и $(-2; 0)$.

г) $y = x^2 - 4x + 4$

1. Выделение полного квадрата.
Выражение в правой части является полным квадратом: $y = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
График — парабола $y = x^2$, смещенная на 2 единицы вправо.

2. Основные характеристики параболы.

• Вершина параболы: $(2; 0)$.
• Ось симметрии: $x = 2$.
• Ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью Oy ($x=0$): $y = (0 - 2)^2 = 4$. Точка $(0; 4)$.
• С осью Ox ($y=0$): $(x-2)^2 = 0 \implies x=2$. Парабола касается оси Ox в своей вершине. Точка касания — $(2; 0)$.

4. Дополнительные точки.
Возьмем точку, симметричную точке $(0; 4)$ относительно оси $x=2$. Ее абсцисса $x=4$, ордината та же. Точка $(4; 4)$.
Возьмем $x=1$: $y = (1-2)^2 = 1$. Точка $(1; 1)$. Симметричная ей точка $(3; 1)$.

5. Построение графика.
Отмечаем вершину $(2; 0)$, точку пересечения с осью Oy $(0; 4)$ и симметричную ей точку $(4; 4)$, а также точки $(1; 1)$ и $(3; 1)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4x + 4$ — это парабола с вершиной в точке $(2; 0)$, ветвями, направленными вверх. Парабола касается оси Ox в точке $(2; 0)$ и пересекает ось Oy в точке $(0; 4)$.