Номер 255, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 255, страница 103.

255 При каких значениях коэффициента имеет хотя бы один нуль функция:

а) $y = ax^2 + 7$;

б) $y = 10x^2 + q$?

Нуль функции — это значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти, при каких значениях коэффициента функция имеет хотя бы один нуль, нужно приравнять её к нулю и определить, при каких значениях коэффициента получившееся уравнение будет иметь хотя бы одно решение (корень).

а) $y = ax^2 + 7$

Приравняем функцию к нулю:

$ax^2 + 7 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Выразим из него $x^2$:

$ax^2 = -7$

Рассмотрим два случая:

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 7 = 0$, или $7 = 0$. Это неверное равенство, значит, при $a=0$ уравнение не имеет корней, и функция не имеет нулей.

2. Если $a \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $a$:

$x^2 = -\frac{7}{a}$

Это уравнение будет иметь действительные корни только в том случае, если выражение в правой части неотрицательно, так как квадрат любого действительного числа ($x^2$) не может быть отрицательным.

$-\frac{7}{a} \ge 0$

Чтобы это неравенство выполнялось, необходимо, чтобы $\frac{7}{a}$ было меньше или равно нулю. Так как числитель $7$ является положительным числом, то для того, чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель $a$ должен быть отрицательным.

$a < 0$

Таким образом, функция имеет нули только при $a < 0$.

Ответ: $a < 0$.

б) $y = 10x^2 + q$

Приравняем функцию к нулю:

$10x^2 + q = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Выразим из него $x^2$:

$10x^2 = -q$

$x^2 = -\frac{q}{10}$

Как и в предыдущем пункте, уравнение будет иметь хотя бы одно действительное решение, если правая часть будет неотрицательной:

$-\frac{q}{10} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-10$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$q \le 0$

Если $q < 0$, то $x^2$ будет положительным числом, и уравнение будет иметь два различных корня. Если $q = 0$, то $x^2 = 0$, и уравнение будет иметь один корень $x=0$. В обоих случаях условие "имеет хотя бы один нуль" выполняется.

Ответ: $q \le 0$.