Страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

254 Параболу $y = x^2$ сдвинули на несколько единиц вдоль оси $x$ так, что она прошла через точку $M$. Запишите формулу, соответствующую новой параболе, если точка $M$ имеет координаты:

а) $x = 0, y = 4$;

б) $x = -4, y = 4$.

Сколько решений имеет задача в каждом случае?

Исходная парабола задана уравнением $y = x^2$. Когда параболу сдвигают на несколько единиц вдоль оси $x$, ее уравнение принимает вид $y = (x - a)^2$, где $a$ — это величина сдвига (абсцисса новой вершины параболы). Чтобы найти значение $a$, нужно подставить координаты точки $M(x, y)$, через которую проходит сдвинутая парабола, в это уравнение.

а)

Дана точка $M$ с координатами $x = 0, y = 4$. Подставим эти значения в уравнение $y = (x - a)^2$:
$4 = (0 - a)^2$
$4 = (-a)^2$
$a^2 = 4$
Данное уравнение имеет два корня: $a_1 = 2$ и $a_2 = -2$.
Это означает, что существуют две параболы, удовлетворяющие условию задачи:
1. Если $a = 2$, формула параболы: $y = (x - 2)^2$.
2. Если $a = -2$, формула параболы: $y = (x - (-2))^2 = (x + 2)^2$.
Таким образом, задача имеет два решения.
Ответ: $y = (x - 2)^2$ и $y = (x + 2)^2$. Задача имеет два решения.

б)

Дана точка $M$ с координатами $x = -4, y = 4$. Подставим эти значения в уравнение $y = (x - a)^2$:
$4 = (-4 - a)^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных равенства:
1. $-4 - a = 2$
2. $-4 - a = -2$
Решим каждое уравнение относительно $a$:
1. Из $-4 - a = 2$ получаем $a = -4 - 2$, то есть $a_1 = -6$.
2. Из $-4 - a = -2$ получаем $a = -4 + 2$, то есть $a_2 = -2$.
Следовательно, мы снова получаем два уравнения для парабол:
1. Если $a = -6$, формула параболы: $y = (x - (-6))^2 = (x + 6)^2$.
2. Если $a = -2$, формула параболы: $y = (x - (-2))^2 = (x + 2)^2$.
Задача в этом случае также имеет два решения.
Ответ: $y = (x + 6)^2$ и $y = (x + 2)^2$. Задача имеет два решения.

255 При каких значениях коэффициента имеет хотя бы один нуль функция:

а) $y = ax^2 + 7$;

б) $y = 10x^2 + q$?

Нуль функции — это значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти, при каких значениях коэффициента функция имеет хотя бы один нуль, нужно приравнять её к нулю и определить, при каких значениях коэффициента получившееся уравнение будет иметь хотя бы одно решение (корень).

а) $y = ax^2 + 7$

Приравняем функцию к нулю:

$ax^2 + 7 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Выразим из него $x^2$:

$ax^2 = -7$

Рассмотрим два случая:

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 7 = 0$, или $7 = 0$. Это неверное равенство, значит, при $a=0$ уравнение не имеет корней, и функция не имеет нулей.

2. Если $a \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $a$:

$x^2 = -\frac{7}{a}$

Это уравнение будет иметь действительные корни только в том случае, если выражение в правой части неотрицательно, так как квадрат любого действительного числа ($x^2$) не может быть отрицательным.

$-\frac{7}{a} \ge 0$

Чтобы это неравенство выполнялось, необходимо, чтобы $\frac{7}{a}$ было меньше или равно нулю. Так как числитель $7$ является положительным числом, то для того, чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель $a$ должен быть отрицательным.

$a < 0$

Таким образом, функция имеет нули только при $a < 0$.

Ответ: $a < 0$.

б) $y = 10x^2 + q$

Приравняем функцию к нулю:

$10x^2 + q = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Выразим из него $x^2$:

$10x^2 = -q$

$x^2 = -\frac{q}{10}$

Как и в предыдущем пункте, уравнение будет иметь хотя бы одно действительное решение, если правая часть будет неотрицательной:

$-\frac{q}{10} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-10$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$q \le 0$

Если $q < 0$, то $x^2$ будет положительным числом, и уравнение будет иметь два различных корня. Если $q = 0$, то $x^2 = 0$, и уравнение будет иметь один корень $x=0$. В обоих случаях условие "имеет хотя бы один нуль" выполняется.

Ответ: $q \le 0$.

256 Запишите уравнение параболы в виде $y = a(x + p)^2 + q$, если известно, что она получена:

а) из параболы $y = x^2$ сдвигом вдоль оси x на 5 единиц влево и вдоль оси y на 3 единицы вниз;

б) из параболы $y = 2x^2$ сдвигом вдоль оси y на 6 единиц вверх и вдоль оси x на 1 единицу вправо;

в) из параболы $y = -5x^2$ сдвигом вдоль оси x на 4 единицы влево и вдоль оси y на 4 единицы вверх.

а) Чтобы получить уравнение новой параболы из параболы $y = x^2$ путем сдвигов, нужно определить параметры $a$, $p$ и $q$ для уравнения вида $y = a(x+p)^2+q$.
Исходная парабола $y=x^2$ имеет коэффициент $a=1$. При сдвигах этот коэффициент не меняется.
Сдвиг вдоль оси $x$ на 5 единиц влево означает, что к аргументу $x$ нужно прибавить 5. Это соответствует значению $p=5$.
Сдвиг вдоль оси $y$ на 3 единицы вниз означает, что ко всей функции нужно прибавить $-3$. Это соответствует значению $q=-3$.
Подставляем найденные значения в общую формулу:
$y = 1 \cdot (x+5)^2 + (-3)$
$y = (x+5)^2 - 3$
Ответ: $y = (x+5)^2 - 3$

б) Исходная парабола $y=2x^2$, следовательно, коэффициент $a=2$.
Сдвиг вдоль оси $y$ на 6 единиц вверх означает, что $q=6$.
Сдвиг вдоль оси $x$ на 1 единицу вправо означает, что от аргумента $x$ нужно отнять 1. Это соответствует значению $p=-1$.
Подставляем значения $a=2$, $p=-1$ и $q=6$ в общую формулу $y = a(x+p)^2+q$:
$y = 2(x+(-1))^2 + 6$
$y = 2(x-1)^2 + 6$
Ответ: $y = 2(x-1)^2 + 6$

в) Исходная парабола $y=-5x^2$, следовательно, коэффициент $a=-5$.
Сдвиг вдоль оси $x$ на 4 единицы влево означает, что к аргументу $x$ нужно прибавить 4. Это соответствует значению $p=4$.
Сдвиг вдоль оси $y$ на 4 единицы вверх означает, что ко всей функции нужно прибавить 4. Это соответствует значению $q=4$.
Подставляем значения $a=-5$, $p=4$ и $q=4$ в общую формулу $y = a(x+p)^2+q$:
$y = -5(x+4)^2 + 4$
Ответ: $y = -5(x+4)^2 + 4$

257 Запишите уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$ для параболы, изображённой на рисунке 2.32, а–г, если известно, что она получена сдвигами вдоль осей координат параболы:

а) $y = 2x^2$;

б) $y = -x^2$;

в) $y = 0,5x^2$;

г) $y = -0,5x^2$.

Рис. 2.32

Указание. Составьте для каждого графика соответствующую ему формулу в виде $y = a(x + p)^2 + q$, а затем преобразуйте её к виду $y = ax^2 + bx + c$.

а) Исходная парабола: $y=2x^2$, следовательно, коэффициент $a=2$. Вершина параболы, изображенной на графике, находится в точке с координатами $(x_0, y_0) = (-3, -1)$. Уравнение параболы, полученной сдвигом, в вершинной форме записывается как $y=a(x-x_0)^2+y_0$. Подставив известные значения, получаем: $y = 2(x - (-3))^2 + (-1)$ $y = 2(x + 3)^2 - 1$ Теперь преобразуем это уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки: $y = 2(x^2 + 6x + 9) - 1$ $y = 2x^2 + 12x + 18 - 1$ $y = 2x^2 + 12x + 17$
Ответ: $y = 2x^2 + 12x + 17$.

б) Исходная парабола: $y=-x^2$, следовательно, коэффициент $a=-1$. Вершина параболы на графике находится в точке $(x_0, y_0) = (2, 3)$. Запишем уравнение в вершинной форме $y=a(x-x_0)^2+y_0$: $y = -1(x - 2)^2 + 3$ $y = -(x - 2)^2 + 3$ Преобразуем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$: $y = -(x^2 - 4x + 4) + 3$ $y = -x^2 + 4x - 4 + 3$ $y = -x^2 + 4x - 1$
Ответ: $y = -x^2 + 4x - 1$.

в) Исходная парабола: $y=0,5x^2$, следовательно, коэффициент $a=0,5$. Вершина параболы на графике находится в точке $(x_0, y_0) = (4, -1)$. Запишем уравнение в вершинной форме $y=a(x-x_0)^2+y_0$: $y = 0,5(x - 4)^2 + (-1)$ $y = 0,5(x - 4)^2 - 1$ Преобразуем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$: $y = 0,5(x^2 - 8x + 16) - 1$ $y = 0,5x^2 - 4x + 8 - 1$ $y = 0,5x^2 - 4x + 7$
Ответ: $y = 0,5x^2 - 4x + 7$.

г) Исходная парабола: $y=-0,5x^2$, следовательно, коэффициент $a=-0,5$. Вершина параболы на графике находится в точке $(x_0, y_0) = (-2, 2)$. Запишем уравнение в вершинной форме $y=a(x-x_0)^2+y_0$: $y = -0,5(x - (-2))^2 + 2$ $y = -0,5(x + 2)^2 + 2$ Преобразуем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$: $y = -0,5(x^2 + 4x + 4) + 2$ $y = -0,5x^2 - 2x - 2 + 2$ $y = -0,5x^2 - 2x$
Ответ: $y = -0,5x^2 - 2x$.