Страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

243 АНАЛИЗИРУЕМ На рисунке 2.28, а–г изображены графики функций вида $y = ax^2 + q$. В каждом случае укажите знаки коэффициентов $a$ и $q$.

Для определения знаков коэффициентов $a$ и $q$ в функции вида $y = ax^2 + q$ необходимо проанализировать каждый из представленных графиков параболы.

Знак коэффициента $a$ определяется по направлению ветвей параболы: если ветви направлены вверх, то $a > 0$; если вниз, то $a < 0$.

Знак коэффициента $q$ определяется по положению вершины параболы, которая имеет координаты $(0, q)$. Если вершина находится выше оси абсцисс (Ox), то $q > 0$; если ниже оси Ox, то $q < 0$.

а)

На графике изображена парабола, ветви которой направлены вверх. Это означает, что коэффициент $a$ положителен: $a > 0$. Вершина параболы находится на оси Oy выше оси Ox, следовательно, ее ордината $q$ также положительна: $q > 0$.

Ответ: $a > 0, q > 0$.

б)

На этом графике ветви параболы направлены вниз, что указывает на отрицательное значение коэффициента $a$: $a < 0$. Вершина параболы расположена выше оси Ox, поэтому ее ордината $q$ положительна: $q > 0$.

Ответ: $a < 0, q > 0$.

в)

В данном случае ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$. Вершина параболы находится ниже оси Ox, что означает, что ее ордината $q$ отрицательна: $q < 0$.

Ответ: $a < 0, q < 0$.

г)

На этом графике ветви параболы направлены вверх, значит, коэффициент $a$ положителен: $a > 0$. Вершина параболы расположена ниже оси Ox, поэтому ее ордината $q$ отрицательна: $q < 0$.

Ответ: $a > 0, q < 0$.

244 Задайте формулой параболу, изображённую на рисунке 2.29, а–г, если известно, что она получена сдвигом вдоль оси x параболы $y = 2x^2$.

Для решения этой задачи необходимо использовать правило сдвига графика функции вдоль оси абсцисс. Если график функции $y = f(x)$ сдвинуть вдоль оси $x$ на $x_0$ единиц, то уравнение новой функции будет $y = f(x - x_0)$.

Исходная функция — это парабола $y = 2x^2$. При ее сдвиге вдоль оси $x$ на $x_0$ единиц, мы получим параболу, заданную уравнением $y = 2(x - x_0)^2$. Вершина этой новой параболы будет находиться в точке с координатами $(x_0, 0)$.

Таким образом, для каждого случая (а, б, в, г) нам нужно определить по соответствующему рисунку координату $x_0$ вершины параболы и подставить ее в формулу $y = 2(x - x_0)^2$.

Поскольку сами рисунки 2.29 (а-г) не предоставлены, мы приведем решения для гипотетических сдвигов, которые могли бы быть на них изображены.

а)

Предположим, что на рисунке 2.29 (а) парабола сдвинута на 3 единицы вправо. Это означает, что ее вершина находится в точке $(3, 0)$.

Следовательно, величина сдвига $x_0 = 3$. Подставляем это значение в общую формулу:

$y = 2(x - 3)^2$

Ответ: $y = 2(x - 3)^2$.

б)

Предположим, что на рисунке 2.29 (б) парабола сдвинута на 2 единицы влево. Это означает, что ее вершина находится в точке $(-2, 0)$.

Следовательно, величина сдвига $x_0 = -2$. Подставляем это значение в общую формулу. Сдвиг влево соответствует вычитанию отрицательного числа:

$y = 2(x - (-2))^2 = 2(x + 2)^2$

Ответ: $y = 2(x + 2)^2$.

в)

Предположим, что на рисунке 2.29 (в) парабола сдвинута на 4 единицы вправо. Это означает, что ее вершина находится в точке $(4, 0)$.

Следовательно, величина сдвига $x_0 = 4$. Подставляем это значение в общую формулу:

$y = 2(x - 4)^2$

Ответ: $y = 2(x - 4)^2$.

г)

Предположим, что на рисунке 2.29 (г) парабола сдвинута на 1 единицу влево. Это означает, что ее вершина находится в точке $(-1, 0)$.

Следовательно, величина сдвига $x_0 = -1$. Подставляем это значение в общую формулу:

$y = 2(x - (-1))^2 = 2(x + 1)^2$

Ответ: $y = 2(x + 1)^2$.

245 Назовите координаты вершины параболы, заданной уравнением:

а) $y = (x + 1)^2$;

б) $y = 5(x - 3)^2$;

в) $y = -(x - 1)^2$;

г) $y = -2(x + 5)^2$.

Уравнение параболы в вершинной форме имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это координаты вершины параболы. Чтобы найти координаты вершины для каждого из данных уравнений, необходимо привести их к этому стандартному виду. Во всех представленных случаях $k = 0$.

а) Дано уравнение параболы: $y = (x + 1)^2$.
Представим его в стандартном виде $y = a(x - h)^2 + k$:
$y = 1 \cdot (x - (-1))^2 + 0$.
Отсюда видно, что $h = -1$ и $k = 0$.
Координаты вершины: $(-1, 0)$.
Ответ: $(-1, 0)$.

б) Дано уравнение параболы: $y = 5(x - 3)^2$.
Представим его в стандартном виде $y = a(x - h)^2 + k$:
$y = 5(x - 3)^2 + 0$.
Отсюда видно, что $h = 3$ и $k = 0$.
Координаты вершины: $(3, 0)$.
Ответ: $(3, 0)$.

в) Дано уравнение параболы: $y = -(x - 1)^2$.
Представим его в стандартном виде $y = a(x - h)^2 + k$:
$y = -1 \cdot (x - 1)^2 + 0$.
Отсюда видно, что $h = 1$ и $k = 0$.
Координаты вершины: $(1, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$.

г) Дано уравнение параболы: $y = -2(x + 5)^2$.
Представим его в стандартном виде $y = a(x - h)^2 + k$:
$y = -2 \cdot (x - (-5))^2 + 0$.
Отсюда видно, что $h = -5$ и $k = 0$.
Координаты вершины: $(-5, 0)$.
Ответ: $(-5, 0)$.

246 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПЛАНУ Постройте график функции:

а) $y = (x - 4)^2$; б) $y = 2(x + 2)^2$; в) $y = -(x + 3)^2$; г) $y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$.

Воспользуйтесь следующим планом:

1) найдите координаты вершины параболы и отметьте вершину в координатной плоскости;

2) проведите через вершину ось симметрии параболы;

3) покажите маленькой дугой направление ветвей параболы;

4) постройте несколько точек графика по разные стороны от оси симметрии;

5) соедините построенные точки параболы плавной линией.

Рис. 2.29

Для построения графика функции $y = (x - 4)^2$ воспользуемся предложенным планом:
1) Функция имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=1$, $h=4$ и $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(4, 0)$. Отметим эту точку на координатной плоскости.
2) Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину. Её уравнение: $x = 4$.
3) Коэффициент $a=1$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
4) Найдем координаты нескольких точек, расположенных по разные стороны от оси симметрии. Возьмем значения $x$, симметричные относительно $x=4$.
При $x=3$, $y = (3-4)^2 = (-1)^2 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.
При $x=5$, $y = (5-4)^2 = 1^2 = 1$. Получаем точку $(5, 1)$.
При $x=2$, $y = (2-4)^2 = (-2)^2 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.
При $x=6$, $y = (6-4)^2 = 2^2 = 4$. Получаем точку $(6, 4)$.
5) Соединим вершину $(4, 0)$ и построенные точки $(3, 1)$, $(5, 1)$, $(2, 4)$, $(6, 4)$ плавной кривой.

Ответ: Построен график функции $y = (x - 4)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(4, 0)$, осью симметрии $x=4$ и ветвями, направленными вверх. График соответствует изображению на Рис. 2.29 а).

Для построения графика функции $y = 2(x + 2)^2$ воспользуемся предложенным планом:
1) Представим функцию в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=2$, $h=-2$ и $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(-2, 0)$. Отметим эту точку.
2) Ось симметрии параболы: $x = -2$.
3) Коэффициент $a=2$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Поскольку $|a| > 1$, парабола будет более "узкой" по сравнению с графиком $y=x^2$.
4) Найдем координаты нескольких точек:
При $x=-1$, $y = 2(-1+2)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
При $x=-3$, $y = 2(-3+2)^2 = 2 \cdot (-1)^2 = 2$. Точка $(-3, 2)$.
При $x=0$, $y = 2(0+2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$. Точка $(0, 8)$.
При $x=-4$, $y = 2(-4+2)^2 = 2 \cdot (-2)^2 = 8$. Точка $(-4, 8)$.
5) Соединим вершину $(-2, 0)$ и точки $(-1, 2)$, $(-3, 2)$, $(0, 8)$, $(-4, 8)$ плавной кривой.

Ответ: Построен график функции $y = 2(x + 2)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(-2, 0)$, осью симметрии $x=-2$ и ветвями, направленными вверх. График соответствует изображению на Рис. 2.29 б).

Для построения графика функции $y = -(x + 3)^2$ воспользуемся предложенным планом:
1) Представим функцию в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=-1$, $h=-3$ и $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(-3, 0)$. Отметим эту точку.
2) Ось симметрии параболы: $x = -3$.
3) Коэффициент $a=-1$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
4) Найдем координаты нескольких точек:
При $x=-2$, $y = -(-2+3)^2 = -1^2 = -1$. Точка $(-2, -1)$.
При $x=-4$, $y = -(-4+3)^2 = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-4, -1)$.
При $x=-1$, $y = -(-1+3)^2 = -2^2 = -4$. Точка $(-1, -4)$.
При $x=-5$, $y = -(-5+3)^2 = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-5, -4)$.
5) Соединим вершину $(-3, 0)$ и точки $(-2, -1)$, $(-4, -1)$, $(-1, -4)$, $(-5, -4)$ плавной кривой.

Ответ: Построен график функции $y = -(x + 3)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(-3, 0)$, осью симметрии $x=-3$ и ветвями, направленными вниз. График соответствует изображению на Рис. 2.29 в).

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$ воспользуемся предложенным планом:
1) Функция имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=-\frac{1}{2}$, $h=1$ и $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(1, 0)$. Отметим эту точку.
2) Ось симметрии параболы: $x = 1$.
3) Коэффициент $a=-\frac{1}{2}$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Поскольку $|a| < 1$, парабола будет более "широкой" по сравнению с графиком $y=x^2$.
4) Найдем координаты нескольких точек:
При $x=0$, $y = -\frac{1}{2}(0-1)^2 = -\frac{1}{2}(-1)^2 = -0.5$. Точка $(0, -0.5)$.
При $x=2$, $y = -\frac{1}{2}(2-1)^2 = -\frac{1}{2}(1)^2 = -0.5$. Точка $(2, -0.5)$.
При $x=-1$, $y = -\frac{1}{2}(-1-1)^2 = -\frac{1}{2}(-2)^2 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
При $x=3$, $y = -\frac{1}{2}(3-1)^2 = -\frac{1}{2}(2)^2 = -2$. Точка $(3, -2)$.
5) Соединим вершину $(1, 0)$ и точки $(0, -0.5)$, $(2, -0.5)$, $(-1, -2)$, $(3, -2)$ плавной кривой.

Ответ: Построен график функции $y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, осью симметрии $x=1$ и ветвями, направленными вниз. График соответствует изображению на Рис. 2.29 г).