Страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

237 Постройте график функции:

a) $y = x^2 - 1$;

б) $y = -x^2 + 9$;

в) $y = \frac{1}{2} x^2 + 2$;

г) $y = -\frac{1}{2} x^2 + 8$.

График функции $y = x^2 - 1$ — это парабола. Для её построения можно использовать метод преобразования графика базовой функции $y = x^2$.

1. Построение базового графика. Строим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вверх.

2. Вертикальный сдвиг. Чтобы получить график функции $y = x^2 - 1$, необходимо сдвинуть график $y = x^2$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

3. Нахождение ключевых точек.

• Вершина параболы: Вершина базовой параболы $(0, 0)$ смещается на 1 единицу вниз и становится точкой $(0, -1)$.
• Ось симметрии: Ось симметрии не изменяется и остается прямой $x = 0$ (ось $Oy$).
• Пересечение с осями координат:
  • С осью $Oy$: при $x=0$, $y = 0^2 - 1 = -1$. Точка пересечения — $(0, -1)$.
  • С осью $Ox$: при $y=0$, получаем уравнение $x^2 - 1 = 0$. Отсюда $x^2 = 1$, и корни $x = 1$, $x = -1$. Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

4. Таблица значений для построения:

Соединив эти точки плавной кривой, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = x^2 - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -1)$ и ветвями, направленными вверх. График получен сдвигом параболы $y = x^2$ на 1 единицу вниз.

График функции $y = -x^2 + 9$ — это парабола. Построим её, преобразовав график функции $y = -x^2$.

1. Построение базового графика. Строим график функции $y = -x^2$. Это парабола, полученная отражением графика $y = x^2$ относительно оси $Ox$. Её вершина находится в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вниз.

2. Вертикальный сдвиг. Чтобы получить график функции $y = -x^2 + 9$, необходимо сдвинуть график $y = -x^2$ на 9 единиц вверх вдоль оси $Oy$.

3. Нахождение ключевых точек.

• Вершина параболы: Вершина базовой параболы $(0, 0)$ смещается на 9 единиц вверх и становится точкой $(0, 9)$.
• Ось симметрии: Ось симметрии — прямая $x = 0$.
• Пересечение с осями координат:
  • С осью $Oy$: при $x=0$, $y = -0^2 + 9 = 9$. Точка пересечения — $(0, 9)$.
  • С осью $Ox$: при $y=0$, получаем уравнение $-x^2 + 9 = 0$. Отсюда $x^2 = 9$, и корни $x = 3$, $x = -3$. Точки пересечения — $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

4. Таблица значений для построения:

Соединив точки, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 9$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 9)$ и ветвями, направленными вниз. График получен сдвигом параболы $y = -x^2$ на 9 единиц вверх.

График функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ — это парабола. Построим её путем преобразования графика функции $y = \frac{1}{2}x^2$.

1. Построение базового графика. Строим график функции $y = \frac{1}{2}x^2$. Это парабола, полученная из $y = x^2$ путем вертикального сжатия в 2 раза (она шире, чем $y=x^2$). Вершина находится в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх.

2. Вертикальный сдвиг. Чтобы получить график функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$, необходимо сдвинуть график $y = \frac{1}{2}x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

3. Нахождение ключевых точек.

• Вершина параболы: Вершина базовой параболы $(0, 0)$ смещается на 2 единицы вверх и становится точкой $(0, 2)$.
• Ось симметрии: Прямая $x = 0$.
• Пересечение с осями координат:
  • С осью $Oy$: при $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0)^2 + 2 = 2$. Точка пересечения — $(0, 2)$.
  • С осью $Ox$: при $y=0$, получаем $\frac{1}{2}x^2 + 2 = 0$, или $x^2 = -4$. Уравнение не имеет действительных корней, значит, график не пересекает ось $Ox$.

4. Таблица значений для построения:

Соединив точки, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вверх. График получен сдвигом параболы $y = \frac{1}{2}x^2$ на 2 единицы вверх.

График функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 8$ — это парабола. Построим её путем преобразования графика функции $y = -\frac{1}{2}x^2$.

1. Построение базового графика. Строим график функции $y = -\frac{1}{2}x^2$. Это парабола, полученная отражением $y = \frac{1}{2}x^2$ относительно оси $Ox$. Она шире, чем $y=-x^2$. Вершина находится в точке $(0, 0)$, ветви направлены вниз.

2. Вертикальный сдвиг. Чтобы получить график функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 8$, необходимо сдвинуть график $y = -\frac{1}{2}x^2$ на 8 единиц вверх вдоль оси $Oy$.

3. Нахождение ключевых точек.

• Вершина параболы: Вершина базовой параболы $(0, 0)$ смещается на 8 единиц вверх и становится точкой $(0, 8)$.
• Ось симметрии: Прямая $x = 0$.
• Пересечение с осями координат:
  • С осью $Oy$: при $x=0$, $y = -\frac{1}{2}(0)^2 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.
  • С осью $Ox$: при $y=0$, получаем $-\frac{1}{2}x^2 + 8 = 0$, или $x^2 = 16$. Корни $x = 4$ и $x = -4$. Точки пересечения — $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.

4. Таблица значений для построения:

Соединив точки, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 8$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 8)$ и ветвями, направленными вниз. График получен сдвигом параболы $y = -\frac{1}{2}x^2$ на 8 единиц вверх.

238 Постройте график функции на заданной области определения и укажите её наименьшее и наибольшее значения:

а) $y = x^2 - 3$, где $-2 \le x \le 3$;

б) $y = -3x^2 + 2$, где $-2 \le x \le 2$;

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$, где $-4 \le x \le 0$;

г) $y = 4 - \frac{1}{4}x^2$, где $-4 \le x \le 2$.

а) $y = x^2 - 3$, где $-2 \le x \le 3$

Заданная функция $y = x^2 - 3$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число). График получен смещением параболы $y=x^2$ на 3 единицы вниз по оси $Oy$.

Вершина параболы находится в точке с координатами $x_v = 0$, $y_v = 0^2 - 3 = -3$. То есть в точке $(0, -3)$.

Для построения графика на отрезке $[-2, 3]$ найдем значения функции на концах отрезка и в вершине. Вершина с абсциссой $x=0$ принадлежит данному отрезку.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в вершине:
$y_{наим} = y(0) = -3$.

Найдем значения на концах отрезка:
$y(-2) = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
$y(3) = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$.

Сравнивая значения на концах отрезка, $1$ и $6$, выбираем большее. Наибольшее значение функции равно $6$.

Для построения графика соединяем плавной линией точки $(-2, 1)$, $(0, -3)$ и $(3, 6)$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -3$, наибольшее значение $y_{наиб} = 6$.

б) $y = -3x^2 + 2$, где $-2 \le x \le 2$

Заданная функция $y = -3x^2 + 2$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-3$, отрицательное число). График получен из параболы $y=x^2$ растяжением в 3 раза вдоль оси $Oy$, отражением относительно оси $Ox$ и смещением на 2 единицы вверх по оси $Oy$.

Вершина параболы находится в точке с координатами $x_v = 0$, $y_v = -3(0)^2 + 2 = 2$. То есть в точке $(0, 2)$.

Отрезок определения функции $[-2, 2]$. Абсцисса вершины $x=0$ принадлежит этому отрезку.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в вершине:
$y_{наиб} = y(0) = 2$.

Найдем значения на концах отрезка:
$y(-2) = -3(-2)^2 + 2 = -3 \cdot 4 + 2 = -12 + 2 = -10$.
$y(2) = -3(2)^2 + 2 = -3 \cdot 4 + 2 = -12 + 2 = -10$.

Наименьшее значение функции равно $-10$.

Для построения графика соединяем плавной линией точки $(-2, -10)$, $(0, 2)$ и $(2, -10)$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -10$, наибольшее значение $y_{наиб} = 2$.

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$, где $-4 \le x \le 0$

Функция $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$ — квадратичная. График — парабола с ветвями вверх (коэффициент $\frac{1}{2} > 0$).

Вершина параболы находится в точке $x_v = 0$, $y_v = \frac{1}{2}(0)^2 + 1 = 1$. То есть в точке $(0, 1)$.

Область определения — отрезок $[-4, 0]$. Абсцисса вершины $x=0$ является правым концом этого отрезка.

Так как ветви параболы направлены вверх, на отрезке $[-4, 0]$ (слева от вершины) функция является убывающей. Следовательно, наименьшее значение достигается на правом конце отрезка, а наибольшее — на левом.

Наименьшее значение (в вершине):
$y_{наим} = y(0) = 1$.

Наибольшее значение:
$y_{наиб} = y(-4) = \frac{1}{2}(-4)^2 + 1 = \frac{1}{2} \cdot 16 + 1 = 8 + 1 = 9$.

График функции представляет собой левую ветвь параболы от точки $(-4, 9)$ до вершины $(0, 1)$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 1$, наибольшее значение $y_{наиб} = 9$.

г) $y = 4 - \frac{1}{4}x^2$, где $-4 \le x \le 2$

Функция $y = 4 - \frac{1}{4}x^2$ — квадратичная. Ее можно переписать как $y = -\frac{1}{4}x^2 + 4$. График — парабола с ветвями вниз (коэффициент $-\frac{1}{4} < 0$).

Вершина параболы находится в точке $x_v = 0$, $y_v = 4 - \frac{1}{4}(0)^2 = 4$. То есть в точке $(0, 4)$.

Область определения — отрезок $[-4, 2]$. Абсцисса вершины $x=0$ принадлежит этому отрезку.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в вершине:
$y_{наиб} = y(0) = 4$.

Для нахождения наименьшего значения найдем значения функции на концах отрезка:
$y(-4) = 4 - \frac{1}{4}(-4)^2 = 4 - \frac{1}{4} \cdot 16 = 4 - 4 = 0$.
$y(2) = 4 - \frac{1}{4}(2)^2 = 4 - \frac{1}{4} \cdot 4 = 4 - 1 = 3$.

Сравнивая значения на концах отрезка, $0$ и $3$, выбираем меньшее. Наименьшее значение функции равно $0$.

График функции представляет собой часть параболы, проходящую через точки $(-4, 0)$, $(0, 4)$ и $(2, 3)$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4$.

239 С помощью схематического рисунка определите, пересекает ли ось $x$ график функции:

а) $y = 12x^2 - 3$;

б) $y = -5x^2 - 2$;

в) $y = 0,7x^2 + 7$;

г) $y = -\frac{1}{4}x^2 + 9$.

Чтобы определить, пересекает ли график функции ось $x$, не выполняя построений, достаточно проанализировать уравнение параболы вида $y = ax^2 + c$. График такой функции — это парабола с вершиной в точке $(0, c)$, ветви которой направлены вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$. График пересекает ось $x$, если уравнение $ax^2 + c = 0$ имеет решения, то есть когда вершина параболы и направление ее ветвей позволяют ей пересечь эту ось.

а) $y = 12x^2 - 3$

Это парабола. Коэффициент $a = 12$, так как $12 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$, то есть ниже оси $x$. Поскольку вершина находится ниже оси $x$, а ветви направлены вверх, график функции будет пересекать ось $x$.

Ответ: пересекает.

б) $y = -5x^2 - 2$

Это парабола. Коэффициент $a = -5$, так как $-5 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$, то есть ниже оси $x$. Поскольку вершина находится ниже оси $x$, а ветви направлены вниз, весь график функции расположен под осью $x$ и не пересекает ее.

Ответ: не пересекает.

в) $y = 0,7x^2 + 7$

Это парабола. Коэффициент $a = 0,7$, так как $0,7 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 7)$, то есть выше оси $x$. Поскольку вершина находится выше оси $x$, а ветви направлены вверх, весь график функции расположен над осью $x$ и не пересекает ее.

Ответ: не пересекает.

г) $y = -\frac{1}{4}x^2 + 9$

Это парабола. Коэффициент $a = -\frac{1}{4}$, так как $-\frac{1}{4} < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 9)$, то есть выше оси $x$. Поскольку вершина находится выше оси $x$, а ветви направлены вниз, график функции будет пересекать ось $x$.

Ответ: пересекает.

240 РАССУЖДАЕМ

Из приведённого списка функций

$y = 1.3x^2 - 1.2$

$y = -1.4 - 2.5x^2$

$y = 2.5 - 3x^2$

$y = 3.5x^2 + 2.7$

$y = -0.7x^2 - 3.5$

$y = 6.1 + 0.8x^2$

выберите те, которые:

а) принимают только положительные значения (укажите наименьшее значение функции);

б) принимают только отрицательные значения (укажите наибольшее значение функции).

241 С помощью схематического графика определите, имеет ли функция нули, и в случае утвердительного ответа найдите их, решив соответствующее уравнение:

а) $y=\frac{1}{3}x^2+3;$

б) $y=-\frac{1}{2}x^2-6;$

в) $y=3-\frac{1}{2}x^2;$

г) $y=\frac{1}{2}x^2-8.$

а) $y = \frac{1}{3}x^2 + 3$

Графиком данной функции является парабола вида $y = ax^2 + c$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{3}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; c)$, в данном случае это точка $(0; 3)$.
Поскольку вершина параболы находится в точке $(0; 3)$, то есть выше оси абсцисс, а ее ветви направлены вверх, весь график функции лежит выше оси Ox. Это означает, что график не пересекает ось Ox, и, следовательно, функция не имеет нулей.

Чтобы подтвердить это, решим соответствующее уравнение, приравняв $y$ к нулю:
$\frac{1}{3}x^2 + 3 = 0$
$\frac{1}{3}x^2 = -3$
$x^2 = -9$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 6$

Графиком функции является парабола. Коэффициент $a = -\frac{1}{2}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; c)$, то есть в точке $(0; -6)$.
Поскольку вершина параболы находится в точке $(0; -6)$, то есть ниже оси абсцисс, а ее ветви направлены вниз, весь график функции лежит ниже оси Ox. Следовательно, график не пересекает ось Ox, и функция не имеет нулей.

Решим уравнение, чтобы найти нули функции:
$-\frac{1}{2}x^2 - 6 = 0$
$-\frac{1}{2}x^2 = 6$
$x^2 = -12$
Уравнение не имеет действительных корней. Это подтверждает, что у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

в) $y = 3 - \frac{1}{2}x^2$

Перепишем функцию в виде $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$. Это парабола, у которой коэффициент $a = -\frac{1}{2} < 0$, значит, ветви направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 3)$.
Так как вершина параболы находится выше оси абсцисс, а ветви направлены вниз, график функции будет пересекать ось Ox в двух точках. Следовательно, функция имеет два нуля.

Найдем эти нули, решив уравнение $y=0$:
$3 - \frac{1}{2}x^2 = 0$
$3 = \frac{1}{2}x^2$
$x^2 = 6$
$x = \pm\sqrt{6}$
Ответ: $x_1 = -\sqrt{6}$, $x_2 = \sqrt{6}$.

г) $y = \frac{1}{2}x^2 - 8$

Графиком функции является парабола. Коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, поэтому ветви направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -8)$.
Так как вершина параболы находится ниже оси абсцисс, а ветви направлены вверх, график функции пересекает ось Ox в двух точках. Следовательно, функция имеет два нуля.

Найдем нули функции, решив уравнение $y=0$:
$\frac{1}{2}x^2 - 8 = 0$
$\frac{1}{2}x^2 = 8$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
Ответ: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.

242 Изобразите схематически график функции и задайте эту функцию формулой, если известно, что график получен сдвигом вдоль оси x:

а) параболы $y = 2x^2$ на 3 единицы влево;

б) параболы $y = \frac{1}{2}x^2$ на 6 единиц вправо;

в) параболы $y = -x^2$ на 4 единицы влево;

г) параболы $y = -3x^2$ на 2 единицы вправо.

Рис. 2.28

Для решения задачи воспользуемся правилами преобразования графиков функций. График функции $y = f(x-c)$ получается сдвигом графика функции $y=f(x)$ вдоль оси $x$ на $c$ единиц вправо, а график функции $y=f(x+c)$ — сдвигом на $c$ единиц влево.

а)

Исходная функция — парабола $y = 2x^2$. Ее необходимо сдвинуть на 3 единицы влево. Согласно правилу, для сдвига влево на $c=3$ единицы, аргумент $x$ нужно заменить на $(x+3)$.

Таким образом, формула для новой функции будет: $y = 2(x+3)^2$.

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент $2 > 0$). Вершина параболы $y = 2x^2$ находится в точке $(0,0)$. После сдвига на 3 единицы влево вершина новой параболы будет находиться в точке $(-3,0)$. Осью симметрии является прямая $x=-3$.

Ответ: $y = 2(x+3)^2$

б)

Исходная функция — парабола $y = \frac{1}{2}x^2$. Ее необходимо сдвинуть на 6 единиц вправо. Согласно правилу, для сдвига вправо на $c=6$ единиц, аргумент $x$ нужно заменить на $(x-6)$.

Таким образом, формула для новой функции будет: $y = \frac{1}{2}(x-6)^2$.

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент $\frac{1}{2} > 0$). Вершина параболы $y = \frac{1}{2}x^2$ находится в точке $(0,0)$. После сдвига на 6 единиц вправо вершина новой параболы будет находиться в точке $(6,0)$. Осью симметрии является прямая $x=6$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}(x-6)^2$

в)

Исходная функция — парабола $y = -x^2$. Ее необходимо сдвинуть на 4 единицы влево. Для сдвига влево на $c=4$ единицы, аргумент $x$ нужно заменить на $(x+4)$.

Таким образом, формула для новой функции будет: $y = -(x+4)^2$.

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент $-1 < 0$). Вершина параболы $y = -x^2$ находится в точке $(0,0)$. После сдвига на 4 единицы влево вершина новой параболы будет находиться в точке $(-4,0)$. Осью симметрии является прямая $x=-4$.

Ответ: $y = -(x+4)^2$

г)

Исходная функция — парабола $y = -3x^2$. Ее необходимо сдвинуть на 2 единицы вправо. Для сдвига вправо на $c=2$ единицы, аргумент $x$ нужно заменить на $(x-2)$.

Таким образом, формула для новой функции будет: $y = -3(x-2)^2$.

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент $-3 < 0$). Вершина параболы $y = -3x^2$ находится в точке $(0,0)$. После сдвига на 2 единицы вправо вершина новой параболы будет находиться в точке $(2,0)$. Осью симметрии является прямая $x=2$.

Ответ: $y = -3(x-2)^2$