Номер 240, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 240, страница 99.

240 РАССУЖДАЕМ

Из приведённого списка функций

$y = 1.3x^2 - 1.2$

$y = -1.4 - 2.5x^2$

$y = 2.5 - 3x^2$

$y = 3.5x^2 + 2.7$

$y = -0.7x^2 - 3.5$

$y = 6.1 + 0.8x^2$

выберите те, которые:

а) принимают только положительные значения (укажите наименьшее значение функции);

б) принимают только отрицательные значения (укажите наибольшее значение функции).

а) принимают только положительные значения (укажите наименьшее значение функции);

Чтобы квадратичная функция вида $y = ax^2 + c$ принимала только положительные значения, ее график (парабола) должен быть полностью расположен выше оси абсцисс. Это возможно, если одновременно выполняются два условия:

1. Ветви параболы направлены вверх, то есть коэффициент $a$ должен быть положительным ($a > 0$).
2. Вершина параболы, которая находится в точке $(0, c)$, должна лежать выше оси абсцисс, то есть свободный член $c$ должен быть положительным ($c > 0$).

При выполнении этих условий наименьшее значение функции равно ординате ее вершины, то есть $y_{min} = c$.

Проанализируем предложенные функции:

• $y = 1,3x^2 - 1,2$: здесь $a = 1,3 > 0$, но $c = -1,2 < 0$. Функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Не подходит.
• $y = -1,4 - 2,5x^2$: здесь $a = -2,5 < 0$. Ветви параболы направлены вниз. Не подходит.
• $y = 2,5 - 3x^2$: здесь $a = -3 < 0$. Ветви параболы направлены вниз. Не подходит.
• $y = 3,5x^2 + 2,7$: здесь $a = 3,5 > 0$ и $c = 2,7 > 0$. Оба условия выполнены. Функция принимает только положительные значения. Ее наименьшее значение $y_{min} = 2,7$.
• $y = -0,7x^2 - 3,5$: здесь $a = -0,7 < 0$. Ветви параболы направлены вниз. Не подходит.
• $y = 6,1 + 0,8x^2$ (можно записать как $y = 0,8x^2 + 6,1$): здесь $a = 0,8 > 0$ и $c = 6,1 > 0$. Оба условия выполнены. Функция принимает только положительные значения. Ее наименьшее значение $y_{min} = 6,1$.

Ответ: $y = 3,5x^2 + 2,7$ (наименьшее значение 2,7); $y = 6,1 + 0,8x^2$ (наименьшее значение 6,1).

б) принимают только отрицательные значения (укажите наибольшее значение функции).

Чтобы квадратичная функция вида $y = ax^2 + c$ принимала только отрицательные значения, ее график (парабола) должен быть полностью расположен ниже оси абсцисс. Это возможно, если одновременно выполняются два условия:

1. Ветви параболы направлены вниз, то есть коэффициент $a$ должен быть отрицательным ($a < 0$).
2. Вершина параболы, которая находится в точке $(0, c)$, должна лежать ниже оси абсцисс, то есть свободный член $c$ должен быть отрицательным ($c < 0$).

При выполнении этих условий наибольшее значение функции равно ординате ее вершины, то есть $y_{max} = c$.

Проанализируем предложенные функции:

• $y = 1,3x^2 - 1,2$: здесь $a = 1,3 > 0$. Ветви параболы направлены вверх. Не подходит.
• $y = -1,4 - 2,5x^2$ (можно записать как $y = -2,5x^2 - 1,4$): здесь $a = -2,5 < 0$ и $c = -1,4 < 0$. Оба условия выполнены. Функция принимает только отрицательные значения. Ее наибольшее значение $y_{max} = -1,4$.
• $y = 2,5 - 3x^2$ (можно записать как $y = -3x^2 + 2,5$): здесь $a = -3 < 0$, но $c = 2,5 > 0$. Функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Не подходит.
• $y = 3,5x^2 + 2,7$: здесь $a = 3,5 > 0$. Ветви параболы направлены вверх. Не подходит.
• $y = -0,7x^2 - 3,5$: здесь $a = -0,7 < 0$ и $c = -3,5 < 0$. Оба условия выполнены. Функция принимает только отрицательные значения. Ее наибольшее значение $y_{max} = -3,5$.
• $y = 6,1 + 0,8x^2$: здесь $a = 0,8 > 0$. Ветви параболы направлены вверх. Не подходит.

Ответ: $y = -1,4 - 2,5x^2$ (наибольшее значение -1,4); $y = -0,7x^2 - 3,5$ (наибольшее значение -3,5).