Номер 246, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 246, страница 100.

246 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПЛАНУ Постройте график функции:

а) $y = (x - 4)^2$; б) $y = 2(x + 2)^2$; в) $y = -(x + 3)^2$; г) $y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$.

Воспользуйтесь следующим планом:

1) найдите координаты вершины параболы и отметьте вершину в координатной плоскости;

2) проведите через вершину ось симметрии параболы;

3) покажите маленькой дугой направление ветвей параболы;

4) постройте несколько точек графика по разные стороны от оси симметрии;

5) соедините построенные точки параболы плавной линией.

Рис. 2.29

а)

Для построения графика функции $y = (x - 4)^2$ воспользуемся предложенным планом:
1) Функция имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=1$, $h=4$ и $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(4, 0)$. Отметим эту точку на координатной плоскости.
2) Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину. Её уравнение: $x = 4$.
3) Коэффициент $a=1$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
4) Найдем координаты нескольких точек, расположенных по разные стороны от оси симметрии. Возьмем значения $x$, симметричные относительно $x=4$.
При $x=3$, $y = (3-4)^2 = (-1)^2 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.
При $x=5$, $y = (5-4)^2 = 1^2 = 1$. Получаем точку $(5, 1)$.
При $x=2$, $y = (2-4)^2 = (-2)^2 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.
При $x=6$, $y = (6-4)^2 = 2^2 = 4$. Получаем точку $(6, 4)$.
5) Соединим вершину $(4, 0)$ и построенные точки $(3, 1)$, $(5, 1)$, $(2, 4)$, $(6, 4)$ плавной кривой.

Ответ: Построен график функции $y = (x - 4)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(4, 0)$, осью симметрии $x=4$ и ветвями, направленными вверх. График соответствует изображению на Рис. 2.29 а).

б)

Для построения графика функции $y = 2(x + 2)^2$ воспользуемся предложенным планом:
1) Представим функцию в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=2$, $h=-2$ и $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(-2, 0)$. Отметим эту точку.
2) Ось симметрии параболы: $x = -2$.
3) Коэффициент $a=2$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Поскольку $|a| > 1$, парабола будет более "узкой" по сравнению с графиком $y=x^2$.
4) Найдем координаты нескольких точек:
При $x=-1$, $y = 2(-1+2)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
При $x=-3$, $y = 2(-3+2)^2 = 2 \cdot (-1)^2 = 2$. Точка $(-3, 2)$.
При $x=0$, $y = 2(0+2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$. Точка $(0, 8)$.
При $x=-4$, $y = 2(-4+2)^2 = 2 \cdot (-2)^2 = 8$. Точка $(-4, 8)$.
5) Соединим вершину $(-2, 0)$ и точки $(-1, 2)$, $(-3, 2)$, $(0, 8)$, $(-4, 8)$ плавной кривой.

Ответ: Построен график функции $y = 2(x + 2)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(-2, 0)$, осью симметрии $x=-2$ и ветвями, направленными вверх. График соответствует изображению на Рис. 2.29 б).

в)

Для построения графика функции $y = -(x + 3)^2$ воспользуемся предложенным планом:
1) Представим функцию в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=-1$, $h=-3$ и $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(-3, 0)$. Отметим эту точку.
2) Ось симметрии параболы: $x = -3$.
3) Коэффициент $a=-1$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
4) Найдем координаты нескольких точек:
При $x=-2$, $y = -(-2+3)^2 = -1^2 = -1$. Точка $(-2, -1)$.
При $x=-4$, $y = -(-4+3)^2 = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-4, -1)$.
При $x=-1$, $y = -(-1+3)^2 = -2^2 = -4$. Точка $(-1, -4)$.
При $x=-5$, $y = -(-5+3)^2 = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-5, -4)$.
5) Соединим вершину $(-3, 0)$ и точки $(-2, -1)$, $(-4, -1)$, $(-1, -4)$, $(-5, -4)$ плавной кривой.

Ответ: Построен график функции $y = -(x + 3)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(-3, 0)$, осью симметрии $x=-3$ и ветвями, направленными вниз. График соответствует изображению на Рис. 2.29 в).

г)

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$ воспользуемся предложенным планом:
1) Функция имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=-\frac{1}{2}$, $h=1$ и $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(1, 0)$. Отметим эту точку.
2) Ось симметрии параболы: $x = 1$.
3) Коэффициент $a=-\frac{1}{2}$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Поскольку $|a| < 1$, парабола будет более "широкой" по сравнению с графиком $y=x^2$.
4) Найдем координаты нескольких точек:
При $x=0$, $y = -\frac{1}{2}(0-1)^2 = -\frac{1}{2}(-1)^2 = -0.5$. Точка $(0, -0.5)$.
При $x=2$, $y = -\frac{1}{2}(2-1)^2 = -\frac{1}{2}(1)^2 = -0.5$. Точка $(2, -0.5)$.
При $x=-1$, $y = -\frac{1}{2}(-1-1)^2 = -\frac{1}{2}(-2)^2 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
При $x=3$, $y = -\frac{1}{2}(3-1)^2 = -\frac{1}{2}(2)^2 = -2$. Точка $(3, -2)$.
5) Соединим вершину $(1, 0)$ и точки $(0, -0.5)$, $(2, -0.5)$, $(-1, -2)$, $(3, -2)$ плавной кривой.

Ответ: Построен график функции $y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, осью симметрии $x=1$ и ветвями, направленными вниз. График соответствует изображению на Рис. 2.29 г).