Номер 250, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 250, страница 102.

250 Постройте график функции. В качестве образца воспользуйтесь примером 3.

а) $y = (x + 3)^2 - 4;$

б) $y = -2(x - 1)^2 + 3;$

в) $y = -(x + 1)^2 - 1;$

г) $y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 + 1.$

Для каждой функции укажите наибольшее (или наименьшее) значение, а также промежуток убывания и промежуток возрастания.

а) $y = (x + 3)^2 - 4$

График этой функции — парабола, полученная из графика функции $y = x^2$ с помощью двух последовательных преобразований:
1. Сдвиг графика $y=x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = (x + 3)^2$.
2. Сдвиг графика $y = (x + 3)^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = 1$, $h = -3$, $k = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(h, k) = (-3, -4)$.
Поскольку коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Наименьшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение равно $y_{min} = -4$.
2. Промежуток убывания: Функция убывает на луче слева от вершины, то есть при $x \in (-\infty, -3]$.
3. Промежуток возрастания: Функция возрастает на луче справа от вершины, то есть при $x \in [-3, +\infty)$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4; функция убывает на промежутке $(-\infty, -3]$ и возрастает на промежутке $[-3, +\infty)$.

б) $y = -2(x - 1)^2 + 3$

График этой функции — парабола, полученная из графика функции $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:
1. Растяжение графика $y=x^2$ от оси Ox в 2 раза. Получаем $y = 2x^2$.
2. Симметричное отражение графика $y = 2x^2$ относительно оси Ox. Получаем $y = -2x^2$.
3. Сдвиг графика $y = -2x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Получаем $y = -2(x - 1)^2$.
4. Сдвиг графика $y = -2(x - 1)^2$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -2$, $h = 1$, $k = 3$.
Вершина параболы находится в точке $(h, k) = (1, 3)$.
Поскольку коэффициент $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

1. Наибольшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение равно $y_{max} = 3$.
2. Промежуток возрастания: Функция возрастает на луче слева от вершины, то есть при $x \in (-\infty, 1]$.
3. Промежуток убывания: Функция убывает на луче справа от вершины, то есть при $x \in [1, +\infty)$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3; функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

в) $y = -(x + 1)^2 - 1$

График этой функции — парабола, полученная из графика функции $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:
1. Симметричное отражение графика $y = x^2$ относительно оси Ox. Получаем $y = -x^2$.
2. Сдвиг графика $y = -x^2$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Получаем $y = -(x + 1)^2$.
3. Сдвиг графика $y = -(x + 1)^2$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -1$, $h = -1$, $k = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(h, k) = (-1, -1)$.
Поскольку коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

1. Наибольшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение равно $y_{max} = -1$.
2. Промежуток возрастания: Функция возрастает на луче слева от вершины, то есть при $x \in (-\infty, -1]$.
3. Промежуток убывания: Функция убывает на луче справа от вершины, то есть при $x \in [-1, +\infty)$.

Ответ: наибольшее значение функции равно -1; функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на промежутке $[-1, +\infty)$.

г) $y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 + 1$

График этой функции — парабола, полученная из графика функции $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:
1. Сжатие графика $y=x^2$ к оси Oy в 2 раза (или растяжение от оси Ox с коэффициентом $\frac{1}{2}$). Получаем $y = \frac{1}{2}x^2$.
2. Сдвиг графика $y = \frac{1}{2}x^2$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем $y = \frac{1}{2}(x - 4)^2$.
3. Сдвиг графика $y = \frac{1}{2}(x - 4)^2$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = \frac{1}{2}$, $h = 4$, $k = 1$.
Вершина параболы находится в точке $(h, k) = (4, 1)$.
Поскольку коэффициент $a=\frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Наименьшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение равно $y_{min} = 1$.
2. Промежуток убывания: Функция убывает на луче слева от вершины, то есть при $x \in (-\infty, 4]$.
3. Промежуток возрастания: Функция возрастает на луче справа от вершины, то есть при $x \in [4, +\infty)$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1; функция убывает на промежутке $(-\infty, 4]$ и возрастает на промежутке $[4, +\infty)$.