Номер 257, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 257, страница 103.

257 Запишите уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$ для параболы, изображённой на рисунке 2.32, а–г, если известно, что она получена сдвигами вдоль осей координат параболы:

а) $y = 2x^2$;

б) $y = -x^2$;

в) $y = 0,5x^2$;

г) $y = -0,5x^2$.

Рис. 2.32

Указание. Составьте для каждого графика соответствующую ему формулу в виде $y = a(x + p)^2 + q$, а затем преобразуйте её к виду $y = ax^2 + bx + c$.

а) Исходная парабола: $y=2x^2$, следовательно, коэффициент $a=2$. Вершина параболы, изображенной на графике, находится в точке с координатами $(x_0, y_0) = (-3, -1)$. Уравнение параболы, полученной сдвигом, в вершинной форме записывается как $y=a(x-x_0)^2+y_0$. Подставив известные значения, получаем: $y = 2(x - (-3))^2 + (-1)$ $y = 2(x + 3)^2 - 1$ Теперь преобразуем это уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки: $y = 2(x^2 + 6x + 9) - 1$ $y = 2x^2 + 12x + 18 - 1$ $y = 2x^2 + 12x + 17$
Ответ: $y = 2x^2 + 12x + 17$.

б) Исходная парабола: $y=-x^2$, следовательно, коэффициент $a=-1$. Вершина параболы на графике находится в точке $(x_0, y_0) = (2, 3)$. Запишем уравнение в вершинной форме $y=a(x-x_0)^2+y_0$: $y = -1(x - 2)^2 + 3$ $y = -(x - 2)^2 + 3$ Преобразуем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$: $y = -(x^2 - 4x + 4) + 3$ $y = -x^2 + 4x - 4 + 3$ $y = -x^2 + 4x - 1$
Ответ: $y = -x^2 + 4x - 1$.

в) Исходная парабола: $y=0,5x^2$, следовательно, коэффициент $a=0,5$. Вершина параболы на графике находится в точке $(x_0, y_0) = (4, -1)$. Запишем уравнение в вершинной форме $y=a(x-x_0)^2+y_0$: $y = 0,5(x - 4)^2 + (-1)$ $y = 0,5(x - 4)^2 - 1$ Преобразуем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$: $y = 0,5(x^2 - 8x + 16) - 1$ $y = 0,5x^2 - 4x + 8 - 1$ $y = 0,5x^2 - 4x + 7$
Ответ: $y = 0,5x^2 - 4x + 7$.

г) Исходная парабола: $y=-0,5x^2$, следовательно, коэффициент $a=-0,5$. Вершина параболы на графике находится в точке $(x_0, y_0) = (-2, 2)$. Запишем уравнение в вершинной форме $y=a(x-x_0)^2+y_0$: $y = -0,5(x - (-2))^2 + 2$ $y = -0,5(x + 2)^2 + 2$ Преобразуем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$: $y = -0,5(x^2 + 4x + 4) + 2$ $y = -0,5x^2 - 2x - 2 + 2$ $y = -0,5x^2 - 2x$
Ответ: $y = -0,5x^2 - 2x$.