Номер 264, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 264, страница 108.

264 Укажите направление ветвей параболы, вычислите координаты вершины и покажите схематически расположение параболы в координатной плоскости:

а) $y = x^2 - 4x + 3;$

б) $y = -2x^2 + 2x - 1;$

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 8x + 34;$

г) $y = -x^2 - 14x - 48.$

а) $y = x^2 - 4x + 3$

1. Направление ветвей.
Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$. Поскольку коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
Ордината вершины $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в уравнение параболы:
$y_0 = y(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

3. Схематическое расположение.
Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$, которая расположена в IV координатной четверти. Ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось ординат OY в точке $(0, c)$, то есть в точке $(0, 3)$. Поскольку вершина находится ниже оси абсцисс OX, а ветви направлены вверх, парабола пересекает ось OX в двух точках.

Ответ: Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке $(2, -1)$. Схематически парабола расположена с вершиной в IV четверти, ветвями вверх, пересекает ось OY в точке $(0, 3)$.

---

б) $y = -2x^2 + 2x - 1$

1. Направление ветвей.
В данном уравнении $a = -2$, $b = 2$, $c = -1$. Поскольку коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины.
Вычисляем абсциссу вершины $x_0$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = -\frac{2}{-4} = \frac{1}{2}$.
Вычисляем ординату вершины $y_0$:
$y_0 = y(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) - 1 = -2(\frac{1}{4}) + 1 - 1 = -\frac{1}{2}$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

3. Схематическое расположение.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, которая расположена в III координатной четверти. Ветви направлены вниз. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, -1)$. Поскольку вершина находится ниже оси OX и ветви направлены вниз, парабола не пересекает ось OX.

Ответ: Ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. Схематически парабола полностью расположена под осью OX, с вершиной в III четверти.

---

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 8x + 34$

1. Направление ветвей.
Здесь $a = \frac{1}{2}$, $b = 8$, $c = 34$. Поскольку коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Вычисляем абсциссу вершины $x_0$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{8}{1} = -8$.
Вычисляем ординату вершины $y_0$:
$y_0 = y(-8) = \frac{1}{2}(-8)^2 + 8(-8) + 34 = \frac{1}{2}(64) - 64 + 34 = 32 - 64 + 34 = 2$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-8, 2)$.

3. Схематическое расположение.
Вершина параболы находится в точке $(-8, 2)$, которая расположена во II координатной четверти. Ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 34)$. Поскольку вершина находится над осью OX и ветви направлены вверх, парабола не пересекает ось OX.

Ответ: Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке $(-8, 2)$. Схематически парабола полностью расположена над осью OX, с вершиной во II четверти.

---

г) $y = -x^2 - 14x - 48$

1. Направление ветвей.
Здесь $a = -1$, $b = -14$, $c = -48$. Поскольку коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины.
Вычисляем абсциссу вершины $x_0$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-14}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-14}{-2} = -7$.
Вычисляем ординату вершины $y_0$:
$y_0 = y(-7) = -(-7)^2 - 14(-7) - 48 = -49 + 98 - 48 = 1$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-7, 1)$.

3. Схематическое расположение.
Вершина параболы находится в точке $(-7, 1)$, которая расположена во II координатной четверти. Ветви направлены вниз. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, -48)$. Поскольку вершина находится над осью OX, а ветви направлены вниз, парабола пересекает ось OX в двух точках (между $x=-7$ и $x=0$, и при $x < -7$). Точки пересечения с осью OX: $x_1=-8$ и $x_2=-6$.

Ответ: Ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке $(-7, 1)$. Схематически парабола расположена с вершиной во II четверти, ветвями вниз, пересекает ось OX в точках $(-8, 0)$ и $(-6, 0)$.