Номер 271, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 271, страница 110.

271 Постройте график функции:

а) $y = x^2 + 6x + 5;$

б) $y = -x^2 + 2x - 5;$

в) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x;$

г) $y = -2x^2 + 8;$

д) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4;$

е) $y = x^2 + 4x + 4.$

В каждом случае укажите:

1) промежутки возрастания и убывания функции;

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0;$

3) наибольшее или наименьшее значение функции;

4) область значений функции.

а) $y = x^2 + 6x + 5$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки:
1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$
$y_v = y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
Вершина находится в точке $(-3, -4)$.
2. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 + 6 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
С осью OX (при $y=0$): $x^2 + 6x + 5 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = -5$.
Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(-5, 0)$.

Теперь ответим на вопросы:

1) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция убывает на промежутке $(-\infty, -3]$ и возрастает на промежутке $[-3, \infty)$.

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0$;
$y = 0$ при $x = -1$ и $x = -5$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, \infty)$.
$y < 0$ при $x \in (-5, -1)$.

3) наибольшее или наименьшее значение функции;
Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение. $y_{min} = -4$.

4) область значений функции.
Область значений функции $E(y) = [-4, \infty)$.

Ответ: 1) Убывает на $(-\infty, -3]$, возрастает на $[-3, \infty)$; 2) $y=0$ при $x \in \{-5, -1\}$, $y>0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, \infty)$, $y<0$ при $x \in (-5, -1)$; 3) наименьшее значение $y_{min}=-4$; 4) область значений $E(y) = [-4, \infty)$.

б) $y = -x^2 + 2x - 5$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-1$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$
$y_v = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 5 = -1 + 2 - 5 = -4$
Вершина находится в точке $(1, -4)$.
2. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y = -0^2 + 2 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
С осью OX (при $y=0$): $-x^2 + 2x - 5 = 0 \implies x^2 - 2x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX.

1) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, \infty)$.

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0$;
$y = 0$: нет таких значений $x$.
$y > 0$: нет таких значений $x$.
$y < 0$ при $x \in (-\infty, \infty)$.

3) наибольшее или наименьшее значение функции;
Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение. $y_{max} = -4$.

4) область значений функции.
Область значений функции $E(y) = (-\infty, -4]$.

Ответ: 1) Возрастает на $(-\infty, 1]$, убывает на $[1, \infty)$; 2) $y=0$ и $y>0$ не достигаются ни при каких $x$, $y<0$ при $x \in (-\infty, \infty)$; 3) наибольшее значение $y_{max}=-4$; 4) область значений $E(y) = (-\infty, -4]$.

в) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=\frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2$
$y_v = y(2) = \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) = 2 - 4 = -2$
Вершина находится в точке $(2, -2)$.
2. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y = \frac{1}{2}(0)^2 - 2(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX (при $y=0$): $\frac{1}{2}x^2 - 2x = 0 \implies x(\frac{1}{2}x - 2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

1) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, \infty)$.

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0$;
$y = 0$ при $x = 0$ и $x = 4$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.
$y < 0$ при $x \in (0, 4)$.

3) наибольшее или наименьшее значение функции;
Ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение. $y_{min} = -2$.

4) область значений функции.
Область значений функции $E(y) = [-2, \infty)$.

Ответ: 1) Убывает на $(-\infty, 2]$, возрастает на $[2, \infty)$; 2) $y=0$ при $x \in \{0, 4\}$, $y>0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$, $y<0$ при $x \in (0, 4)$; 3) наименьшее значение $y_{min}=-2$; 4) область значений $E(y) = [-2, \infty)$.

г) $y = -2x^2 + 8$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$
$y_v = y(0) = -2(0)^2 + 8 = 8$
Вершина находится в точке $(0, 8)$.
2. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y=8$. Точка $(0, 8)$.
С осью OX (при $y=0$): $-2x^2 + 8 = 0 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4$.
Корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

1) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, \infty)$.

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0$;
$y = 0$ при $x = -2$ и $x = 2$.
$y > 0$ при $x \in (-2, 2)$.
$y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

3) наибольшее или наименьшее значение функции;
Ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение. $y_{max} = 8$.

4) область значений функции.
Область значений функции $E(y) = (-\infty, 8]$.

Ответ: 1) Возрастает на $(-\infty, 0]$, убывает на $[0, \infty)$; 2) $y=0$ при $x \in \{-2, 2\}$, $y>0$ при $x \in (-2, 2)$, $y<0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$; 3) наибольшее значение $y_{max}=8$; 4) область значений $E(y) = (-\infty, 8]$.

д) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-\frac{1}{2} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 3$
$y_v = y(3) = -\frac{1}{2}(3)^2 + 3(3) - 4 = -4.5 + 9 - 4 = 0.5$
Вершина находится в точке $(3, 0.5)$.
2. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y=-4$. Точка $(0, -4)$.
С осью OX (при $y=0$): $-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4 = 0 \implies x^2 - 6x + 8 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

1) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$ и убывает на промежутке $[3, \infty)$.

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0$;
$y = 0$ при $x = 2$ и $x = 4$.
$y > 0$ при $x \in (2, 4)$.
$y < 0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

3) наибольшее или наименьшее значение функции;
Ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение. $y_{max} = 0.5$.

4) область значений функции.
Область значений функции $E(y) = (-\infty, 0.5]$.

Ответ: 1) Возрастает на $(-\infty, 3]$, убывает на $[3, \infty)$; 2) $y=0$ при $x \in \{2, 4\}$, $y>0$ при $x \in (2, 4)$, $y<0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$; 3) наибольшее значение $y_{max}=0.5$; 4) область значений $E(y) = (-\infty, 0.5]$.

е) $y = x^2 + 4x + 4$

Графиком функции является парабола. Функцию можно записать как $y = (x+2)^2$. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -2$
$y_v = 0$
Вершина находится в точке $(-2, 0)$.
2. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y = (0+2)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$.
С осью OX (при $y=0$): $(x+2)^2 = 0$.
Корень уравнения: $x = -2$.
Парабола касается оси OX в точке $(-2, 0)$, которая является ее вершиной.

1) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$ и возрастает на промежутке $[-2, \infty)$.

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0$;
$y = 0$ при $x = -2$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \infty)$.
$y < 0$: нет таких значений $x$.

3) наибольшее или наименьшее значение функции;
Ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение. $y_{min} = 0$.

4) область значений функции.
Область значений функции $E(y) = [0, \infty)$.

Ответ: 1) Убывает на $(-\infty, -2]$, возрастает на $[-2, \infty)$; 2) $y=0$ при $x = -2$, $y>0$ при $x \neq -2$, $y<0$ не достигается ни при каких $x$; 3) наименьшее значение $y_{min}=0$; 4) область значений $E(y) = [0, \infty)$.