Номер 275, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 275, страница 111.

275 Постройте график функции:

а) $y = (x - 1)(x - 5)$;

б) $y = (x + 1)(2x - 6)$;

в) $y = (x - 2)(4 - x)$;

г) $y = -0.5x(4 + x)$.

а)

Заданная функция $y = (x - 1)(x - 5)$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Для построения графика найдем его ключевые характеристики.

1. Направление ветвей параболы. Раскроем скобки, чтобы привести функцию к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:

$y = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5$.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Точки пересечения с осью абсцисс (нули функции). Приравняем $y$ к нулю:

$(x - 1)(x - 5) = 0$.

Отсюда находим корни:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$

Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

3. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины является средним арифметическим корней:

$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$.

Для нахождения ординаты вершины подставим $x_в = 3$ в уравнение функции:

$y_в = (3 - 1)(3 - 5) = 2 \cdot (-2) = -4$.

Координаты вершины: $(3, -4)$.

4. Точка пересечения с осью ординат (осью Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение:

$y = (0 - 1)(0 - 5) = (-1) \cdot (-5) = 5$.

Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 5)$.

Для построения графика наносим на координатную плоскость найденные точки: $(1, 0)$, $(5, 0)$, вершину $(3, -4)$ и точку $(0, 5)$. Соединяем их плавной кривой, получая параболу с ветвями, направленными вверх.

Ответ: График функции $y = (x-1)(x-5)$ — это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(3, -4)$ и пересечениями с осью Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

б)

Заданная функция $y = (x + 1)(2x - 6)$. Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Направление ветвей. Раскроем скобки:

$y = 2x^2 - 6x + 2x - 6 = 2x^2 - 4x - 6$.

Коэффициент $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Точки пересечения с осью абсцисс. При $y = 0$:

$(x + 1)(2x - 6) = 0$.

Корни уравнения:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

$2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x_2 = 3$

Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Координаты вершины параболы. Абсцисса вершины:

$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ордината вершины:

$y_в = (1 + 1)(2 \cdot 1 - 6) = 2 \cdot (2 - 6) = 2 \cdot (-4) = -8$.

Координаты вершины: $(1, -8)$.

4. Точка пересечения с осью ординат. При $x = 0$:

$y = (0 + 1)(2 \cdot 0 - 6) = 1 \cdot (-6) = -6$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(-1, 0)$, $(3, 0)$, вершину $(1, -8)$ и точку $(0, -6)$. Соединяем их плавной линией, чтобы построить график.

Ответ: График функции $y = (x+1)(2x-6)$ — это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(1, -8)$ и пересечениями с осью Ox в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

в)

Заданная функция $y = (x - 2)(4 - x)$. Это квадратичная функция, график — парабола.

1. Направление ветвей. Раскроем скобки:

$y = 4x - x^2 - 8 + 2x = -x^2 + 6x - 8$.

Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Точки пересечения с осью Ox. При $y = 0$:

$(x - 2)(4 - x) = 0$.

Корни уравнения:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$4 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 4$

Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

3. Координаты вершины параболы. Абсцисса вершины:

$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

Ордината вершины:

$y_в = (3 - 2)(4 - 3) = 1 \cdot 1 = 1$.

Координаты вершины: $(3, 1)$.

4. Точка пересечения с осью Oy. При $x = 0$:

$y = (0 - 2)(4 - 0) = -2 \cdot 4 = -8$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, -8)$.

Наносим на координатную плоскость точки $(2, 0)$, $(4, 0)$, вершину $(3, 1)$ и точку $(0, -8)$. Соединяем их плавной кривой (параболой с ветвями вниз).

Ответ: График функции $y = (x-2)(4-x)$ — это парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(3, 1)$ и пересечениями с осью Ox в точках $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

г)

Заданная функция $y = -0.5x(4 + x)$. Это квадратичная функция, график — парабола.

1. Направление ветвей. Раскроем скобки:

$y = -0.5x \cdot 4 - 0.5x \cdot x = -2x - 0.5x^2 = -0.5x^2 - 2x$.

Коэффициент $a = -0.5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Точки пересечения с осью Ox. При $y = 0$:

$-0.5x(4 + x) = 0$.

Корни уравнения:

$-0.5x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$4 + x = 0 \Rightarrow x_2 = -4$

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

3. Координаты вершины параболы. Абсцисса вершины:

$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0 + (-4)}{2} = -2$.

Ордината вершины:

$y_в = -0.5(-2)(4 + (-2)) = 1 \cdot 2 = 2$.

Координаты вершины: $(-2, 2)$.

4. Точка пересечения с осью Oy. При $x = 0$:

$y = -0.5 \cdot 0 \cdot (4 + 0) = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$, что совпадает с одним из корней.

Для построения графика отмечаем точки $(0, 0)$, $(-4, 0)$ и вершину $(-2, 2)$. Соединяем их плавной линией, получая параболу с ветвями, направленными вниз.

Ответ: График функции $y = -0.5x(4+x)$ — это парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(-2, 2)$ и пересечениями с осью Ox в точках $(-4, 0)$ и $(0, 0)$.