Номер 273, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 273, страница 111.

273 АНАЛИЗИРУЕМ Из приведённого списка выберите функции, графики которых отвечают указанному условию, и сделайте схематические рисунки.

а) График проходит через начало координат:

$y = 2x$, $y = \frac{1}{x}$, $y = x^3$, $y = x + 1$, $y = x^2 + 1$, $y = 2x^2 - x$.

б) График пересекает ось y в точке (0; 3):

$y = x - 3$, $y = x + 3$, $y = x^2 + 3$, $y = x^2 + 3x$, $y = \frac{3}{x}$, $y = 3x^2$.

в) График симметричен относительно оси y:

$y = x - 1$, $y = -x^2$, $y = \frac{1}{x}$, $y = |x|$, $y = x^2 - 1$, $y = x^2 - x + 1$.

а) График проходит через начало координат:

Условие «график проходит через начало координат» означает, что точка $(0; 0)$ принадлежит графику функции. Чтобы проверить это, нужно подставить $x=0$ в уравнение функции и убедиться, что значение $y$ также равно $0$. Проверим каждую функцию из данного списка: $y = 2x, y = \frac{1}{x}, y = x^3, y = x + 1, y = x^2 + 1, y = 2x^2 - x$.

Для функции $y = 2x$:
При $x=0$, получаем $y = 2 \cdot 0 = 0$. Условие выполняется.
Схематический рисунок: График является прямой линией, которая проходит через начало координат. Так как угловой коэффициент $k=2$ положителен, функция возрастает. График проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 2)$.

Для функции $y = \frac{1}{x}$:
При $x=0$ функция не определена (происходит деление на ноль). Следовательно, график не проходит через начало координат.

Для функции $y = x^3$:
При $x=0$, получаем $y = 0^3 = 0$. Условие выполняется.
Схематический рисунок: График представляет собой кубическую параболу. Он симметричен относительно начала координат и проходит через точки $(-1; -1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Для функции $y = x + 1$:
При $x=0$, получаем $y = 0 + 1 = 1$. Так как $y \neq 0$, график не проходит через начало координат.

Для функции $y = x^2 + 1$:
При $x=0$, получаем $y = 0^2 + 1 = 1$. Так как $y \neq 0$, график не проходит через начало координат.

Для функции $y = 2x^2 - x$:
При $x=0$, получаем $y = 2 \cdot 0^2 - 0 = 0$. Условие выполняется.
Схематический рисунок: График является параболой, ветви которой направлены вверх ($a=2 > 0$). Парабола пересекает ось $x$ в точках $x=0$ и $x=0.5$ (решения уравнения $2x^2-x=0$). Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{4}; -\frac{1}{8})$.

Ответ: $y = 2x$, $y = x^3$, $y = 2x^2 - x$.

б) График пересекает ось y в точке (0; 3):

График функции пересекает ось $y$ в точке $(0; 3)$, если при подстановке значения $x=0$ в уравнение функции, мы получаем $y=3$. Проверим функции из списка: $y = x - 3, y = x + 3, y = x^2 + 3, y = x^2 + 3x, y = \frac{3}{x^2}, y = 3x^2$.

Для функции $y = x - 3$:
При $x=0$, $y = 0 - 3 = -3$. График пересекает ось $y$ в точке $(0; -3)$, что не соответствует условию.

Для функции $y = x + 3$:
При $x=0$, $y = 0 + 3 = 3$. Условие выполняется.
Схематический рисунок: График — прямая линия с угловым коэффициентом $k=1$ и пересечением оси $y$ в точке $(0; 3)$.

Для функции $y = x^2 + 3$:
При $x=0$, $y = 0^2 + 3 = 3$. Условие выполняется.
Схематический рисунок: График — парабола с ветвями вверх, симметричная относительно оси $y$. Ее вершина находится в точке $(0; 3)$.

Для функции $y = x^2 + 3x$:
При $x=0$, $y = 0^2 + 3 \cdot 0 = 0$. График пересекает ось $y$ в точке $(0; 0)$, что не соответствует условию.

Для функции $y = \frac{3}{x^2}$:
При $x=0$ функция не определена. График не пересекает ось $y$, а имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

Для функции $y = 3x^2$:
При $x=0$, $y = 3 \cdot 0^2 = 0$. График пересекает ось $y$ в точке $(0; 0)$, что не соответствует условию.

Ответ: $y = x + 3$, $y = x^2 + 3$.

в) График симметричен относительно оси y:

График функции симметричен относительно оси $y$, если функция является чётной. Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Проверим функции из списка: $y = x - 1, y = -x^2, y = \frac{1}{x}, y = |x|, y = x^2 - 1, y = x^2 - x + 1$.

Для функции $f(x) = x - 1$:
$f(-x) = (-x) - 1 = -x - 1$. Поскольку $f(-x) \neq f(x)$, функция не является чётной.

Для функции $f(x) = -x^2$:
$f(-x) = -(-x)^2 = -x^2$. Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Схематический рисунок: Парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в начале координат $(0; 0)$.

Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$:
$f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$. Это нечётная функция, её график симметричен относительно начала координат, а не оси $y$.

Для функции $f(x) = |x|$:
$f(-x) = |-x| = |x|$. Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Схематический рисунок: График состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$.

Для функции $f(x) = x^2 - 1$:
$f(-x) = (-x)^2 - 1 = x^2 - 1$. Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Схематический рисунок: Парабола с ветвями вверх, смещенная на 1 единицу вниз. Вершина находится в точке $(0; -1)$.

Для функции $f(x) = x^2 - x + 1$:
$f(-x) = (-x)^2 - (-x) + 1 = x^2 + x + 1$. Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ (для $x \neq 0$), функция не является чётной.

Ответ: $y = -x^2$, $y = |x|$, $y = x^2 - 1$.