Страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

273 АНАЛИЗИРУЕМ Из приведённого списка выберите функции, графики которых отвечают указанному условию, и сделайте схематические рисунки.

а) График проходит через начало координат:

$y = 2x$, $y = \frac{1}{x}$, $y = x^3$, $y = x + 1$, $y = x^2 + 1$, $y = 2x^2 - x$.

б) График пересекает ось y в точке (0; 3):

$y = x - 3$, $y = x + 3$, $y = x^2 + 3$, $y = x^2 + 3x$, $y = \frac{3}{x}$, $y = 3x^2$.

в) График симметричен относительно оси y:

$y = x - 1$, $y = -x^2$, $y = \frac{1}{x}$, $y = |x|$, $y = x^2 - 1$, $y = x^2 - x + 1$.

а) График проходит через начало координат:

Условие «график проходит через начало координат» означает, что точка $(0; 0)$ принадлежит графику функции. Чтобы проверить это, нужно подставить $x=0$ в уравнение функции и убедиться, что значение $y$ также равно $0$. Проверим каждую функцию из данного списка: $y = 2x, y = \frac{1}{x}, y = x^3, y = x + 1, y = x^2 + 1, y = 2x^2 - x$.

Для функции $y = 2x$:
При $x=0$, получаем $y = 2 \cdot 0 = 0$. Условие выполняется.
Схематический рисунок: График является прямой линией, которая проходит через начало координат. Так как угловой коэффициент $k=2$ положителен, функция возрастает. График проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 2)$.

Для функции $y = \frac{1}{x}$:
При $x=0$ функция не определена (происходит деление на ноль). Следовательно, график не проходит через начало координат.

Для функции $y = x^3$:
При $x=0$, получаем $y = 0^3 = 0$. Условие выполняется.
Схематический рисунок: График представляет собой кубическую параболу. Он симметричен относительно начала координат и проходит через точки $(-1; -1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Для функции $y = x + 1$:
При $x=0$, получаем $y = 0 + 1 = 1$. Так как $y \neq 0$, график не проходит через начало координат.

Для функции $y = x^2 + 1$:
При $x=0$, получаем $y = 0^2 + 1 = 1$. Так как $y \neq 0$, график не проходит через начало координат.

Для функции $y = 2x^2 - x$:
При $x=0$, получаем $y = 2 \cdot 0^2 - 0 = 0$. Условие выполняется.
Схематический рисунок: График является параболой, ветви которой направлены вверх ($a=2 > 0$). Парабола пересекает ось $x$ в точках $x=0$ и $x=0.5$ (решения уравнения $2x^2-x=0$). Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{4}; -\frac{1}{8})$.

Ответ: $y = 2x$, $y = x^3$, $y = 2x^2 - x$.

б) График пересекает ось y в точке (0; 3):

График функции пересекает ось $y$ в точке $(0; 3)$, если при подстановке значения $x=0$ в уравнение функции, мы получаем $y=3$. Проверим функции из списка: $y = x - 3, y = x + 3, y = x^2 + 3, y = x^2 + 3x, y = \frac{3}{x^2}, y = 3x^2$.

Для функции $y = x - 3$:
При $x=0$, $y = 0 - 3 = -3$. График пересекает ось $y$ в точке $(0; -3)$, что не соответствует условию.

Для функции $y = x + 3$:
При $x=0$, $y = 0 + 3 = 3$. Условие выполняется.
Схематический рисунок: График — прямая линия с угловым коэффициентом $k=1$ и пересечением оси $y$ в точке $(0; 3)$.

Для функции $y = x^2 + 3$:
При $x=0$, $y = 0^2 + 3 = 3$. Условие выполняется.
Схематический рисунок: График — парабола с ветвями вверх, симметричная относительно оси $y$. Ее вершина находится в точке $(0; 3)$.

Для функции $y = x^2 + 3x$:
При $x=0$, $y = 0^2 + 3 \cdot 0 = 0$. График пересекает ось $y$ в точке $(0; 0)$, что не соответствует условию.

Для функции $y = \frac{3}{x^2}$:
При $x=0$ функция не определена. График не пересекает ось $y$, а имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

Для функции $y = 3x^2$:
При $x=0$, $y = 3 \cdot 0^2 = 0$. График пересекает ось $y$ в точке $(0; 0)$, что не соответствует условию.

Ответ: $y = x + 3$, $y = x^2 + 3$.

в) График симметричен относительно оси y:

График функции симметричен относительно оси $y$, если функция является чётной. Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Проверим функции из списка: $y = x - 1, y = -x^2, y = \frac{1}{x}, y = |x|, y = x^2 - 1, y = x^2 - x + 1$.

Для функции $f(x) = x - 1$:
$f(-x) = (-x) - 1 = -x - 1$. Поскольку $f(-x) \neq f(x)$, функция не является чётной.

Для функции $f(x) = -x^2$:
$f(-x) = -(-x)^2 = -x^2$. Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Схематический рисунок: Парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в начале координат $(0; 0)$.

Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$:
$f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$. Это нечётная функция, её график симметричен относительно начала координат, а не оси $y$.

Для функции $f(x) = |x|$:
$f(-x) = |-x| = |x|$. Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Схематический рисунок: График состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$.

Для функции $f(x) = x^2 - 1$:
$f(-x) = (-x)^2 - 1 = x^2 - 1$. Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Схематический рисунок: Парабола с ветвями вверх, смещенная на 1 единицу вниз. Вершина находится в точке $(0; -1)$.

Для функции $f(x) = x^2 - x + 1$:
$f(-x) = (-x)^2 - (-x) + 1 = x^2 + x + 1$. Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ (для $x \neq 0$), функция не является чётной.

Ответ: $y = -x^2$, $y = |x|$, $y = x^2 - 1$.

274 Постройте график функции на заданном промежутке; укажите наименьшее и наибольшее значения функции; укажите область значений функции:

a) $y = 2x^2 - 6x + 4$; $[0; 2]$;

б) $y = -2x^2 + 4x + 6$; $[-1; 2]$;

В) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 5$; $[-4; 1]$;

Г) $y = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$; $[-4; 2]$.

а) $y = 2x^2 - 6x + 4$ на промежутке $[0; 2]$

1. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.
$x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.
Абсцисса вершины $x_в = 1.5$ принадлежит заданному промежутку $[0; 2]$.
Ордината вершины: $y_в = y(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 4 = 2 \cdot 2.25 - 9 + 4 = 4.5 - 9 + 4 = -0.5$.
Координаты вершины: $(1.5; -0.5)$.

3. Поскольку ветви параболы направлены вверх и вершина находится внутри заданного промежутка, наименьшее значение функции на этом промежутке будет в вершине.
$y_{наим} = y_в = -0.5$.

4. Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка. Найдем значения функции в точках $x=0$ и $x=2$:
$y(0) = 2 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 4 = 4$.
$y(2) = 2 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$.
Сравнивая значения на концах промежутка, получаем, что $y_{наиб} = 4$.

5. Область значений функции на промежутке $[0; 2]$ — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения: $[-0.5; 4]$.

6. Для построения графика на промежутке $[0; 2]$ нужно отметить ключевые точки: вершину $(1.5; -0.5)$ и концы отрезка графика $(0; 4)$ и $(2; 0)$. Затем соединить их плавной кривой, являющейся частью параболы.

Ответ: наименьшее значение функции $-0.5$, наибольшее значение функции $4$, область значений $E(y) = [-0.5; 4]$.

б) $y = -2x^2 + 4x + 6$ на промежутке $[-1; 2]$

1. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-2$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы.
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.
Абсцисса вершины $x_в = 1$ принадлежит заданному промежутку $[-1; 2]$.
$y_в = y(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 6 = -2 + 4 + 6 = 8$.
Координаты вершины: $(1; 8)$.

3. Поскольку ветви параболы направлены вниз и вершина находится внутри заданного промежутка, наибольшее значение функции на этом промежутке будет в вершине.
$y_{наиб} = y_в = 8$.

4. Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка. Найдем значения функции в точках $x=-1$ и $x=2$:
$y(-1) = -2(-1)^2 + 4(-1) + 6 = -2 - 4 + 6 = 0$.
$y(2) = -2(2)^2 + 4(2) + 6 = -8 + 8 + 6 = 6$.
Сравнивая значения на концах промежутка, получаем, что $y_{наим} = 0$.

5. Область значений функции на промежутке $[-1; 2]$: $[0; 8]$.

6. Для построения графика на промежутке $[-1; 2]$ нужно отметить ключевые точки: вершину $(1; 8)$ и концы отрезка графика $(-1; 0)$ и $(2; 6)$. Затем соединить их плавной кривой (частью параболы).

Ответ: наименьшее значение функции $0$, наибольшее значение функции $8$, область значений $E(y) = [0; 8]$.

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 5$ на промежутке $[-4; 1]$

1. График функции — парабола. Коэффициент $a = -\frac{1}{2} < 0$, ветви направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы.
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{-2}{-1} = -2$.
Абсцисса вершины $x_в = -2$ принадлежит заданному промежутку $[-4; 1]$.
$y_в = y(-2) = -\frac{1}{2}(-2)^2 - 2(-2) - 5 = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 4 - 5 = -2 + 4 - 5 = -3$.
Координаты вершины: $(-2; -3)$.

3. Так как ветви параболы направлены вниз и вершина находится внутри заданного промежутка, наибольшее значение функции на этом промежутке достигается в вершине.
$y_{наиб} = y_в = -3$.

4. Наименьшее значение будет на одном из концов промежутка.
$y(-4) = -\frac{1}{2}(-4)^2 - 2(-4) - 5 = -\frac{1}{2} \cdot 16 + 8 - 5 = -8 + 8 - 5 = -5$.
$y(1) = -\frac{1}{2}(1)^2 - 2(1) - 5 = -0.5 - 2 - 5 = -7.5$.
Сравнивая значения, получаем, что $y_{наим} = -7.5$.

5. Область значений функции на промежутке $[-4; 1]$: $[-7.5; -3]$.

6. Для построения графика на промежутке $[-4; 1]$ нужно отметить ключевые точки: вершину $(-2; -3)$ и концы отрезка графика $(-4; -5)$ и $(1; -7.5)$. Затем соединить их плавной кривой (частью параболы).

Ответ: наименьшее значение функции $-7.5$, наибольшее значение функции $-3$, область значений $E(y) = [-7.5; -3]$.

г) $y = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$ на промежутке $[-4; 2]$

1. График функции — парабола. Коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, ветви направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы.
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$.
Абсцисса вершины $x_в = -2$ принадлежит заданному промежутку $[-4; 2]$.
$y_в = y(-2) = \frac{1}{4}(-2)^2 + (-2) + 1 = \frac{1}{4} \cdot 4 - 2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.
Координаты вершины: $(-2; 0)$.

3. Так как ветви параболы направлены вверх и вершина находится внутри заданного промежутка, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в вершине.
$y_{наим} = y_в = 0$.

4. Наибольшее значение будет на одном из концов промежутка.
$y(-4) = \frac{1}{4}(-4)^2 + (-4) + 1 = \frac{1}{4} \cdot 16 - 4 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$.
$y(2) = \frac{1}{4}(2)^2 + 2 + 1 = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$.
Сравнивая значения, получаем, что $y_{наиб} = 4$.

5. Область значений функции на промежутке $[-4; 2]$: $[0; 4]$.

6. Для построения графика на промежутке $[-4; 2]$ нужно отметить ключевые точки: вершину $(-2; 0)$ и концы отрезка графика $(-4; 1)$ и $(2; 4)$. Затем соединить их плавной кривой (частью параболы).

Ответ: наименьшее значение функции $0$, наибольшее значение функции $4$, область значений $E(y) = [0; 4]$.

275 Постройте график функции:

а) $y = (x - 1)(x - 5)$;

б) $y = (x + 1)(2x - 6)$;

в) $y = (x - 2)(4 - x)$;

г) $y = -0.5x(4 + x)$.

Заданная функция $y = (x - 1)(x - 5)$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Для построения графика найдем его ключевые характеристики.

1. Направление ветвей параболы. Раскроем скобки, чтобы привести функцию к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:

$y = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5$.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Точки пересечения с осью абсцисс (нули функции). Приравняем $y$ к нулю:

$(x - 1)(x - 5) = 0$.

Отсюда находим корни:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$

Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

3. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины является средним арифметическим корней:

$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$.

Для нахождения ординаты вершины подставим $x_в = 3$ в уравнение функции:

$y_в = (3 - 1)(3 - 5) = 2 \cdot (-2) = -4$.

Координаты вершины: $(3, -4)$.

4. Точка пересечения с осью ординат (осью Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение:

$y = (0 - 1)(0 - 5) = (-1) \cdot (-5) = 5$.

Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 5)$.

Для построения графика наносим на координатную плоскость найденные точки: $(1, 0)$, $(5, 0)$, вершину $(3, -4)$ и точку $(0, 5)$. Соединяем их плавной кривой, получая параболу с ветвями, направленными вверх.

Ответ: График функции $y = (x-1)(x-5)$ — это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(3, -4)$ и пересечениями с осью Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

Заданная функция $y = (x + 1)(2x - 6)$. Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Направление ветвей. Раскроем скобки:

$y = 2x^2 - 6x + 2x - 6 = 2x^2 - 4x - 6$.

Коэффициент $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Точки пересечения с осью абсцисс. При $y = 0$:

$(x + 1)(2x - 6) = 0$.

Корни уравнения:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

$2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x_2 = 3$

Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Координаты вершины параболы. Абсцисса вершины:

$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ордината вершины:

$y_в = (1 + 1)(2 \cdot 1 - 6) = 2 \cdot (2 - 6) = 2 \cdot (-4) = -8$.

Координаты вершины: $(1, -8)$.

4. Точка пересечения с осью ординат. При $x = 0$:

$y = (0 + 1)(2 \cdot 0 - 6) = 1 \cdot (-6) = -6$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(-1, 0)$, $(3, 0)$, вершину $(1, -8)$ и точку $(0, -6)$. Соединяем их плавной линией, чтобы построить график.

Ответ: График функции $y = (x+1)(2x-6)$ — это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(1, -8)$ и пересечениями с осью Ox в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

Заданная функция $y = (x - 2)(4 - x)$. Это квадратичная функция, график — парабола.

1. Направление ветвей. Раскроем скобки:

$y = 4x - x^2 - 8 + 2x = -x^2 + 6x - 8$.

Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Точки пересечения с осью Ox. При $y = 0$:

$(x - 2)(4 - x) = 0$.

Корни уравнения:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$4 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 4$

Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

3. Координаты вершины параболы. Абсцисса вершины:

$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

Ордината вершины:

$y_в = (3 - 2)(4 - 3) = 1 \cdot 1 = 1$.

Координаты вершины: $(3, 1)$.

4. Точка пересечения с осью Oy. При $x = 0$:

$y = (0 - 2)(4 - 0) = -2 \cdot 4 = -8$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, -8)$.

Наносим на координатную плоскость точки $(2, 0)$, $(4, 0)$, вершину $(3, 1)$ и точку $(0, -8)$. Соединяем их плавной кривой (параболой с ветвями вниз).

Ответ: График функции $y = (x-2)(4-x)$ — это парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(3, 1)$ и пересечениями с осью Ox в точках $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

Заданная функция $y = -0.5x(4 + x)$. Это квадратичная функция, график — парабола.

1. Направление ветвей. Раскроем скобки:

$y = -0.5x \cdot 4 - 0.5x \cdot x = -2x - 0.5x^2 = -0.5x^2 - 2x$.

Коэффициент $a = -0.5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Точки пересечения с осью Ox. При $y = 0$:

$-0.5x(4 + x) = 0$.

Корни уравнения:

$-0.5x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$4 + x = 0 \Rightarrow x_2 = -4$

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

3. Координаты вершины параболы. Абсцисса вершины:

$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0 + (-4)}{2} = -2$.

Ордината вершины:

$y_в = -0.5(-2)(4 + (-2)) = 1 \cdot 2 = 2$.

Координаты вершины: $(-2, 2)$.

4. Точка пересечения с осью Oy. При $x = 0$:

$y = -0.5 \cdot 0 \cdot (4 + 0) = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$, что совпадает с одним из корней.

Для построения графика отмечаем точки $(0, 0)$, $(-4, 0)$ и вершину $(-2, 2)$. Соединяем их плавной линией, получая параболу с ветвями, направленными вниз.

Ответ: График функции $y = -0.5x(4+x)$ — это парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(-2, 2)$ и пересечениями с осью Ox в точках $(-4, 0)$ и $(0, 0)$.

ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ (276–277)

При решении задач воспользуйтесь формулой из примера 2.

276 Мяч падает с высоты 20 м с начальной скоростью, равной нулю.

1) Запишите уравнение, которое задаёт соотношение между высотой $h$ (в м) мяча над землёй и временем падения $t$ (в с).

2) Начертите график зависимости высоты от времени падения (возьмите удобный масштаб по осям).

3) Определите по графику:

а) сколько примерно времени будет падать мяч;

б) когда он падает быстрее — в первую секунду или во вторую;

в) на каком расстоянии от земли окажется мяч через 1,5 с.

1) Запишите уравнение, которое задаёт соотношение между высотой h (в м) мяча над землёй и временем падения t (в с).

Для решения задачи воспользуемся формулой свободного падения тела с нулевой начальной скоростью. Расстояние $s$, которое пролетает тело за время $t$, определяется как $s = \frac{gt^2}{2}$, где $g$ – ускорение свободного падения. В школьных задачах для упрощения расчетов принимают $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Тогда расстояние, которое пролетел мяч, равно: $s(t) = \frac{10t^2}{2} = 5t^2$.

Высота мяча над землёй $h$ в момент времени $t$ – это начальная высота $H$ минус пройденное расстояние $s$. По условию, начальная высота $H = 20$ м.

Следовательно, уравнение зависимости высоты $h$ от времени $t$ имеет вид:

$h(t) = H - s(t) = 20 - 5t^2$.

Ответ: $h = 20 - 5t^2$.

2) Начертите график зависимости высоты от времени падения (возьмите удобный масштаб по осям).

Графиком функции $h(t) = 20 - 5t^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 20)$. Падение мяча закончится, когда он достигнет земли, то есть когда высота $h$ станет равной нулю. Найдем время падения:

$0 = 20 - 5t^2$

$5t^2 = 20$

$t^2 = 4$

$t = 2$ с (так как время не может быть отрицательным).

Таким образом, нам нужно построить график функции на интервале времени $t \in [0, 2]$.

Для построения графика составим таблицу значений:

при $t = 0$ с, $h = 20 - 5(0)^2 = 20$ м;

при $t = 0.5$ с, $h = 20 - 5(0.5)^2 = 20 - 1.25 = 18.75$ м;

при $t = 1$ с, $h = 20 - 5(1)^2 = 20 - 5 = 15$ м;

при $t = 1.5$ с, $h = 20 - 5(1.5)^2 = 20 - 11.25 = 8.75$ м;

при $t = 2$ с, $h = 20 - 5(2)^2 = 20 - 20 = 0$ м.

Теперь можно начертить график. По оси абсцисс (горизонтальной) откладываем время $t$ в секундах, а по оси ординат (вертикальной) – высоту $h$ в метрах. Удобный масштаб: по оси $t$ одна клетка – это 0.5 с, по оси $h$ одна клетка – это 5 м. Отмечаем точки $(0, 20)$, $(0.5, 18.75)$, $(1, 15)$, $(1.5, 8.75)$, $(2, 0)$ и соединяем их плавной кривой линией.

Ответ: График представляет собой часть параболы с вершиной в точке $(0, 20)$, проходящую через точки $(1, 15)$ и $(2, 0)$, где ось абсцисс — время $t$ (с), а ось ординат — высота $h$ (м).

3) Определите по графику:

а) сколько примерно времени будет падать мяч;

Падение мяча заканчивается, когда его высота над землей становится равной нулю ($h=0$). На графике это точка пересечения кривой с осью времени ($t$). Из графика видно, что это происходит при $t = 2$ с.

Ответ: 2 секунды.

б) когда он падает быстрее — в первую секунду или во вторую;

Скорость падения на графике зависимости высоты от времени определяется крутизной (наклоном) кривой. Чем круче идет вниз график, тем больше скорость падения. Сравним участки графика от $t=0$ до $t=1$ с (первая секунда) и от $t=1$ до $t=2$ с (вторая секунда).

За первую секунду (с $t=0$ до $t=1$) высота изменилась с 20 м до 15 м, то есть мяч пролетел $20 - 15 = 5$ м.

За вторую секунду (с $t=1$ до $t=2$) высота изменилась с 15 м до 0 м, то есть мяч пролетел $15 - 0 = 15$ м.

Так как за вторую секунду мяч пролетел большее расстояние, чем за первую, его скорость была выше. На графике это отражено тем, что на интервале $[1, 2]$ кривая идет значительно круче вниз, чем на интервале $[0, 1]$.

Ответ: Во вторую секунду.

в) на каком расстоянии от земли окажется мяч через 1,5 с.

Чтобы определить расстояние от земли через 1,5 с, нужно найти на оси времени точку $t = 1.5$, подняться от нее до пересечения с графиком и затем найти соответствующее значение на оси высоты $h$.

Согласно графику (и нашим расчетам из пункта 2), при $t = 1.5$ с высота $h$ составляет 8,75 м.

Ответ: 8,75 м.