Страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

277 Футболист на тренировке подбросил головой мяч вертикально вверх, придав ему начальную скорость 10 м/с.

1) Запишите уравнение, описывающее высоту, на которой находится мяч, в зависимости от времени полёта (рост футболиста считайте равным 2 м).

Уравнение: $h(t) = 2 + 10t - 5t^2$

2) Начертите график зависимости высоты от времени.

3) Определите по графику:

а) на какую максимальную высоту поднимется мяч;

б) через сколько примерно времени мяч окажется на максимальной высоте;

в) когда скорость полёта мяча больше: в начале или в конце первой секунды движения;

г) через сколько примерно секунд мяч упадёт на землю.

В задачах 278–279 воспользуйтесь формулой площади круга $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга, $\pi \approx 3$.

1) Запишите уравнение, описывающее высоту, на которой находится мяч, в зависимости от времени полёта (рост футболиста считайте равным 2 м).

Движение мяча, брошенного вертикально вверх, описывается уравнением равноускоренного движения. Высота $h$ мяча над землей в момент времени $t$ определяется формулой: $h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{gt^2}{2}$, где $h_0$ — начальная высота, $v_0$ — начальная скорость, а $g$ — ускорение свободного падения.

По условию задачи дано:

Начальная высота $h_0$ равна росту футболиста, то есть $h_0 = 2$ м.

Начальная скорость $v_0 = 10$ м/с.

Для упрощения расчетов примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Подставим известные значения в формулу:

$h(t) = 2 + 10t - \frac{10 \cdot t^2}{2}$

Упростив выражение, получаем искомое уравнение:

$h(t) = -5t^2 + 10t + 2$

Ответ: Уравнение, описывающее высоту, на которой находится мяч, в зависимости от времени полёта: $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$.

2) Начертите график зависимости высоты от времени.

Графиком зависимости высоты от времени $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика найдем ключевые точки:

Вершина параболы (точка максимальной высоты): время достижения $t_{в} = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-5)} = 1$ с; максимальная высота $h(1) = -5(1)^2 + 10(1) + 2 = 7$ м. Координаты вершины: $(1; 7)$.

Точка старта (начальный момент времени): при $t=0$ с, высота $h(0) = 2$ м. Координаты точки: $(0; 2)$.

Точка падения на землю: высота $h(t) = 0$. Решим квадратное уравнение $-5t^2 + 10t + 2 = 0$. Физический смысл имеет только положительный корень: $t = \frac{-10 - \sqrt{10^2 - 4(-5)(2)}}{2(-5)} = 1 + \frac{\sqrt{140}}{10} \approx 1 + \frac{11.83}{10} \approx 2.18$ с. Координаты точки: $(\approx 2.18; 0)$.

График зависимости высоты от времени представлен ниже.

Ответ: График зависимости высоты от времени — парабола, изображенная выше.

3) Определите по графику:

а) на какую максимальную высоту поднимется мяч;

По графику видно, что максимальная высота соответствует вершине параболы. Ордината (значение по оси h) вершины равна 7.

Ответ: Максимальная высота, на которую поднимется мяч, составляет 7 м.

б) через сколько примерно времени мяч окажется на максимальной высоте;

Время, через которое мяч окажется на максимальной высоте, соответствует абсциссе (значение по оси t) вершины параболы.

Ответ: Мяч окажется на максимальной высоте через 1 секунду.

в) когда скорость полёта мяча больше: в начале или в конце первой секунды движения;

Скорость полета мяча графически представляется как крутизна (тангенс угла наклона касательной) графика в каждой точке. В начале движения, при $t=0$, график имеет наибольшую крутизну, что соответствует максимальной начальной скорости ($10$ м/с). В конце первой секунды, при $t=1$, мяч достигает вершины траектории, где его скорость на мгновение становится равной нулю, а касательная к графику — горизонтальна (нулевой наклон).

Ответ: Скорость полета мяча больше в начале движения.

г) через сколько примерно секунд мяч упадёт на землю.

Мяч упадёт на землю, когда его высота станет равной нулю, то есть $h=0$. На графике это точка пересечения параболы с горизонтальной осью времени $t$.

Ответ: По графику видно, что мяч упадёт на землю примерно через 2.2 секунды.

278 На рисунке 2.37 изображено кольцо, радиус внешнего круга которого равен 2 см.

1) Запишите формулу, выражающую зависимость площади A кольца от радиуса внутреннего круга x.

$A = 4\pi - \pi x^2$

2) Начертите график зависимости A от x.

3) Какова область определения рассматриваемой функции?

4) Опишите, как меняется площадь A кольца с изменением x от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

Рис. 2.37

1) Площадь кольца $A$ вычисляется как разность площади внешнего круга $S_{внеш}$ и площади внутреннего круга $S_{внутр}$. Площадь круга находится по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга. Радиус внешнего круга по условию равен 2 см. Его площадь: $S_{внеш} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см². Радиус внутреннего круга равен $x$ см. Его площадь: $S_{внутр} = \pi \cdot x^2$ см². Таким образом, зависимость площади кольца $A$ от радиуса внутреннего круга $x$ выражается формулой: $A(x) = S_{внеш} - S_{внутр} = 4\pi - \pi x^2 = \pi(4 - x^2)$.
Ответ: $A(x) = \pi(4 - x^2)$.

2) Функция $A(x) = \pi(4 - x^2)$ является квадратичной функцией вида $y = -ax^2 + c$, где $a=\pi$ и $c=4\pi$. График такой функции — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4\pi)$. Учитывая область определения (см. пункт 3), нас интересует поведение функции на отрезке $x \in [0, 2]$. Найдем значения на границах этого отрезка:

• При $x=0$, $A(0) = \pi(4 - 0^2) = 4\pi$. Это точка вершины параболы.
• При $x=2$, $A(2) = \pi(4 - 2^2) = 0$. Это точка пересечения с осью абсцисс.

График зависимости $A$ от $x$ представляет собой дугу параболы, начинающуюся в точке $(0, 4\pi)$ на оси ординат и заканчивающуюся в точке $(2, 0)$ на оси абсцисс.
Ответ: График функции $A(x)$ на ее области определения — это часть параболы с ветвями, направленными вниз, с вершиной в точке $(0, 4\pi)$ и концом в точке $(2, 0)$.

3) Область определения функции находится из физического смысла переменной $x$, которая обозначает радиус внутреннего круга. 1. Радиус не может быть отрицательным числом, следовательно, $x \ge 0$. 2. Радиус внутреннего круга не может быть больше радиуса внешнего круга, то есть $x \le 2$. При $x=0$ кольцо превращается в сплошной круг радиусом 2, его площадь максимальна и равна $4\pi$. При $x=2$ внутренний и внешний радиусы совпадают, и площадь кольца становится равной нулю. Оба крайних значения допустимы. Таким образом, область определения функции $A(x)$ — это отрезок $[0, 2]$.
Ответ: $D(A) = [0, 2]$ или $0 \le x \le 2$.

4) Функция $A(x) = \pi(4 - x^2)$ является убывающей на своей области определения $[0, 2]$, так как с увеличением радиуса внутреннего круга $x$ площадь кольца $A$ уменьшается.

• При изменении $x$ от 0 до 2: Площадь $A$ уменьшается. В начале промежутка $A(0) = 4\pi$. В конце промежутка $A(2) = 0$. Таким образом, площадь $A$ изменяется от $4\pi$ до 0.
• При изменении $x$ от 0 до 1: Площадь $A$ уменьшается. В начале промежутка $A(0) = 4\pi$. В конце промежутка $A(1) = \pi(4 - 1^2) = 3\pi$. Таким образом, площадь $A$ изменяется от $4\pi$ до $3\pi$.
• При изменении $x$ от 1 до 2: Площадь $A$ уменьшается. В начале промежутка $A(1) = 3\pi$. В конце промежутка $A(2) = 0$. Таким образом, площадь $A$ изменяется от $3\pi$ до 0.

Ответ: При увеличении $x$ от 0 до 2 площадь $A$ монотонно убывает от $4\pi$ до 0. На промежутке от 0 до 1 площадь убывает от $4\pi$ до $3\pi$. На промежутке от 1 до 2 площадь убывает от $3\pi$ до 0.

кольца с изменением $x$ от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

279 На рисунке 2.38 изображено кольцо, радиус внешнего круга которого равен 2 см.

1) Запишите формулу, выражающую зависимость площади $A$ кольца от его ширины $x$.

2) Начертите график зависимости $A$ от $x$.

3) Какова область определения рассматриваемой функции?

4) Опишите, как меняется площадь $A$ кольца с изменением $x$ от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

Рис. 2.38

1) Запишите формулу, выражающую зависимость площади A кольца от его ширины x.

Площадь кольца (A) равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов.
Радиус внешнего круга, согласно условию, равен $R = 2$ см. Его площадь составляет $A_{внеш} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.
Ширина кольца $x$ — это разность между радиусом внешнего круга $R$ и радиусом внутреннего круга $r$. Таким образом, $x = R - r$.
Отсюда можно выразить радиус внутреннего круга: $r = R - x = 2 - x$.
Площадь внутреннего круга равна $A_{внутр} = \pi r^2 = \pi (2 - x)^2$.
Следовательно, площадь кольца A как функция от его ширины x выражается формулой:
$A(x) = A_{внеш} - A_{внутр} = 4\pi - \pi (2 - x)^2$.
Упростим это выражение, раскрыв скобки:
$A(x) = \pi [4 - (2 - x)^2] = \pi [4 - (4 - 4x + x^2)] = \pi (4 - 4 + 4x - x^2) = \pi (4x - x^2)$.

Ответ: $A(x) = \pi (4x - x^2)$.

2) Начертите график зависимости A от x.

Функция $A(x) = \pi (4x - x^2)$ является квадратичной ($A(x) = -\pi x^2 + 4\pi x$). Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-\pi < 0$).
Из пункта 3 следует, что функция определена на отрезке $x \in [0, 2]$.
Найдем значения функции в ключевых точках:
- При $x=0$: $A(0) = \pi(4 \cdot 0 - 0^2) = 0$.
- При $x=1$: $A(1) = \pi(4 \cdot 1 - 1^2) = 3\pi$.
- При $x=2$: $A(2) = \pi(4 \cdot 2 - 2^2) = \pi(8 - 4) = 4\pi$.
Абсцисса вершины параболы $x_v = - \frac{4\pi}{2(-\pi)} = 2$. Это означает, что на рассматриваемом отрезке $[0, 2]$ функция постоянно возрастает, достигая своего максимума в конечной точке отрезка.
Ниже представлен график функции $A(x)$ на отрезке $[0, 2]$:

Ответ: График представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(0, 0)$ и заканчивается в своей вершине в точке $(2, 4\pi)$.

3) Какова область определения рассматриваемой функции?

Область определения функции $A(x)$ находится исходя из геометрического смысла входящих в нее величин.
1. Ширина кольца $x$ не может быть отрицательной величиной, следовательно, $x \ge 0$.
2. Радиус внутреннего круга $r = 2 - x$ также не может быть отрицательным, так как это геометрическая длина. Поэтому $2 - x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 2$.
Объединяя эти два условия, получаем, что ширина $x$ может принимать значения от 0 до 2 включительно.

Ответ: Область определения функции: $x \in [0, 2]$.

4) Опишите, как меняется площадь A кольца с изменением x от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

Чтобы проанализировать, как меняется площадь $A(x)$, найдем производную функции $A(x) = \pi(4x - x^2)$:
$A'(x) = (\pi(4x - x^2))' = \pi(4 - 2x) = 2\pi(2 - x)$.
На всей области определения $x \in [0, 2]$, значение производной $A'(x) = 2\pi(2 - x)$ является неотрицательным ($A'(x) \ge 0$), при этом $A'(x)=0$ только в точке $x=2$. Это говорит о том, что функция $A(x)$ монотонно возрастает на всем отрезке $[0, 2]$.
- С изменением $x$ от 0 до 2: площадь $A$ кольца непрерывно увеличивается с $A(0) = 0$ до $A(2) = 4\pi$.
- С изменением $x$ от 0 до 1: площадь $A$ кольца увеличивается с $A(0) = 0$ до $A(1) = 3\pi$.
- С изменением $x$ от 1 до 2: площадь $A$ кольца продолжает увеличиваться с $A(1) = 3\pi$ до $A(2) = 4\pi$.

Ответ: При увеличении ширины кольца $x$ от 0 до 2 площадь кольца $A$ монотонно возрастает от 0 до $4\pi$. На интервале от 0 до 1 площадь возрастает от 0 до $3\pi$, а на интервале от 1 до 2 — от $3\pi$ до $4\pi$.