Страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

280 Парабола $y=f(x)$ проходит через точку $M$. Найдите неизвестный коэффициент в уравнении параболы, если:

a) $f(x) = 3x^2 - 15x + c$, $M(0; 4)$;

б) $f(x) = -2x^2 + x + c$, $M(0; -3)$;

в) $f(x) = ax^2 - 3x + 5$, $M(-1; 9)$;

г) $f(x) = -5x^2 + bx + 7$, $M(-1; 0)$.

а) Парабола $y = f(x)$ проходит через точку $M$. Это значит, что координаты точки $M$ удовлетворяют уравнению параболы. Чтобы найти неизвестный коэффициент $c$ в уравнении $f(x) = 3x^2 - 15x + c$, подставим в него координаты точки $M(0; 4)$, где $x=0$ и $y=f(x)=4$.
$4 = 3 \cdot (0)^2 - 15 \cdot 0 + c$
$4 = 0 - 0 + c$
$c = 4$
Ответ: $c = 4$.

б) Аналогично, подставим координаты точки $M(0; -3)$ в уравнение параболы $f(x) = -2x^2 + x + c$.
$-3 = -2 \cdot (0)^2 + 0 + c$
$-3 = 0 + 0 + c$
$c = -3$
Ответ: $c = -3$.

в) Чтобы найти неизвестный коэффициент $a$ в уравнении $f(x) = ax^2 - 3x + 5$, подставим в него координаты точки $M(-1; 9)$.
$9 = a \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 5$
$9 = a \cdot 1 + 3 + 5$
$9 = a + 8$
$a = 9 - 8$
$a = 1$
Ответ: $a = 1$.

г) Чтобы найти неизвестный коэффициент $b$ в уравнении $f(x) = -5x^2 + bx + 7$, подставим в него координаты точки $M(-1; 0)$.
$0 = -5 \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + 7$
$0 = -5 \cdot 1 - b + 7$
$0 = 2 - b$
$b = 2$
Ответ: $b = 2$.

281 Найдите коэффициент $b$, если известно, что осью симметрии графика функции $y = x^2 + bx + 5$ является прямая:

а) $x = 1$;

б) $x = -2$.

График функции $y = x^2 + bx + 5$ является параболой. Ось симметрии параболы, которая задана уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле для абсциссы вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае, для функции $y = x^2 + bx + 5$, мы имеем коэффициенты $a=1$, $b=b$ и $c=5$. Подставив значение $a=1$ в формулу, получаем уравнение для оси симметрии:

$x_0 = -\frac{b}{2 \cdot 1} = -\frac{b}{2}$

Теперь мы можем найти значение коэффициента $b$ для каждого случая.

а)

Известно, что осью симметрии является прямая $x = 1$. Это означает, что $x_0 = 1$.

Подставим это значение в нашу формулу:

$1 = -\frac{b}{2}$

Чтобы найти $b$, умножим обе части уравнения на -2:

$b = 1 \cdot (-2)$

$b = -2$

Ответ: $b = -2$.

б)

Известно, что осью симметрии является прямая $x = -2$. Это означает, что $x_0 = -2$.

Подставим это значение в нашу формулу:

$-2 = -\frac{b}{2}$

Чтобы найти $b$, умножим обе части уравнения на -2:

$b = -2 \cdot (-2)$

$b = 4$

Ответ: $b = 4$.

282 Определите значения $p$ и $q$, при которых вершина параболы

$y = x^2 + px + q$ находится в точке:

a) A(-3; 4);

б) B(1; 5).

Для нахождения значений $p$ и $q$ воспользуемся формулой для координат вершины параболы. Для параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, абсцисса вершины $x_в$ вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае уравнение имеет вид $y = x^2 + px + q$, поэтому коэффициенты равны $a=1$ и $b=p$. Следовательно, формула для абсциссы вершины:

$x_в = -\frac{p}{2}$

Зная абсциссу вершины, мы можем найти $p$. Затем, подставив координаты вершины $(x_в, y_в)$ и найденное значение $p$ в исходное уравнение параболы, мы можем найти $q$.

а)

Вершина параболы находится в точке A(-3; 4), следовательно $x_в = -3$ и $y_в = 4$.

Найдем $p$ из формулы для абсциссы вершины:

$-3 = -\frac{p}{2}$

Отсюда, умножая обе части на -2, получаем:

$p = 6$

Теперь подставим координаты точки A(-3; 4) и значение $p=6$ в уравнение параболы $y = x^2 + px + q$, чтобы найти $q$:

$4 = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + q$

$4 = 9 - 18 + q$

$4 = -9 + q$

$q = 4 + 9 = 13$

Ответ: $p=6, q=13$.

б)

Вершина параболы находится в точке B(1; 5), следовательно $x_в = 1$ и $y_в = 5$.

Найдем $p$ из формулы для абсциссы вершины:

$1 = -\frac{p}{2}$

Отсюда, умножая обе части на -2, получаем:

$p = -2$

Теперь подставим координаты точки B(1; 5) и значение $p=-2$ в уравнение параболы $y = x^2 + px + q$, чтобы найти $q$:

$5 = (1)^2 + (-2) \cdot 1 + q$

$5 = 1 - 2 + q$

$5 = -1 + q$

$q = 5 + 1 = 6$

Ответ: $p=-2, q=6$.

283 На рисунке 2.39 изображён график функции $y = ax^2 + bx + c$.

Определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

1

2

3

4

Рис. 2.39

①
Для определения знаков коэффициентов $a$, $b$ и $c$ квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ проанализируем её график.
1. Знак коэффициента $a$: Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.
2. Знак коэффициента $c$: График пересекает ось $y$ в точке, ордината которой положительна. Так как $y(0) = c$, то $c > 0$.
3. Знак коэффициента $b$: Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. На графике видно, что вершина находится в правой полуплоскости, значит $x_0 > 0$. Так как $a > 0$, то для того чтобы дробь $-\frac{b}{2a}$ была положительной, коэффициент $b$ должен быть отрицательным ($b < 0$).
Ответ: $a > 0, b < 0, c > 0$.

②
1. Знак коэффициента $a$: Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.
2. Знак коэффициента $c$: График пересекает ось $y$ в точке, ордината которой отрицательна. Так как $y(0) = c$, то $c < 0$.
3. Знак коэффициента $b$: Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$. На графике видно, что вершина находится на оси $y$, значит $x_0 = 0$. Из равенства $-\frac{b}{2a} = 0$ следует, что $b = 0$.
Ответ: $a > 0, b = 0, c < 0$.

③
1. Знак коэффициента $a$: Ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$.
2. Знак коэффициента $c$: График пересекает ось $y$ в точке, ордината которой отрицательна. Так как $y(0) = c$, то $c < 0$.
3. Знак коэффициента $b$: Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$. На графике видно, что вершина находится в правой полуплоскости, значит $x_0 > 0$. Так как $a < 0$, то знаменатель $2a$ отрицателен. Чтобы дробь $-\frac{b}{2a}$ была положительной, числитель $-b$ должен быть отрицательным, что означает $b > 0$. Знаки $a$ и $b$ противоположны.
Ответ: $a < 0, b > 0, c < 0$.

④
1. Знак коэффициента $a$: Ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$.
2. Знак коэффициента $c$: График пересекает ось $y$ в точке, ордината которой положительна. Так как $y(0) = c$, то $c > 0$.
3. Знак коэффициента $b$: Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$. На графике видно, что вершина находится в левой полуплоскости, значит $x_0 < 0$. Так как $a < 0$, то знаменатель $2a$ отрицателен. Чтобы дробь $-\frac{b}{2a}$ была отрицательной, числитель $-b$ должен быть положительным, что означает $b < 0$. Знаки $a$ и $b$ совпадают.
Ответ: $a < 0, b < 0, c > 0$.

284 Запишите уравнение какой-нибудь параболы, вершина которой не лежит на оси $y$ и которая целиком расположена:

а) выше оси $x$;

б) ниже оси $x$.

Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(x_v, y_v)$ и вертикальной осью симметрии имеет вид:$y = a(x - x_v)^2 + y_v$.

По условию задачи, вершина параболы не лежит на оси $y$. Ось $y$ — это прямая $x=0$. Следовательно, абсцисса (координата $x$) вершины параболы должна быть не равна нулю, то есть $x_v \neq 0$.

В задачах 285—286 воспользуйтесь схематическими графиками.

285 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Футболист на тренировке подбрасывает мяч ногой вертикально вверх с начальной скоростью 15 м/с. На какую максимальную высоту поднимется мяч?

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (286—287)

285 Практическая ситуация

Высота $h$ (в метрах), на которой находится подброшенный мяч, зависит от времени $t$ (в секундах) и может быть описана формулой из физики: $h(t) = v_0t - \frac{gt^2}{2}$, где $v_0$ – начальная скорость, а $g$ – ускорение свободного падения, примерно равное $10$ м/с².

Подставим данные из условия задачи: $v_0 = 15$ м/с.
Функция зависимости высоты от времени примет вид:
$h(t) = 15t - \frac{10t^2}{2} = 15t - 5t^2$.

Это квадратичная функция $h(t) = -5t^2 + 15t$, графиком которой является парабола. Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный ($a = -5$), ветви параболы направлены вниз. Максимальное значение функции (максимальная высота) достигается в вершине параболы.

Найдем время $t_в$, в которое достигается максимальная высота, по формуле абсциссы вершины параболы $t_в = -\frac{b}{2a}$:
$t_в = -\frac{15}{2 \cdot (-5)} = -\frac{15}{-10} = 1.5$ с.

Теперь найдем максимальную высоту, подставив значение $t_в = 1.5$ в функцию высоты:
$h_{макс} = h(1.5) = 15 \cdot 1.5 - 5 \cdot (1.5)^2 = 22.5 - 5 \cdot 2.25 = 22.5 - 11.25 = 11.25$ м.

Ответ: мяч поднимется на максимальную высоту 11,25 м.

286 Применяем алгебру

Пусть $x$ (см) – длина основания прямоугольника. Обозначим вторую сторону прямоугольника через $y$ (см).
Периметр прямоугольника $P$ равен $2(x+y)$. По условию, $P = 16$ см.
$2(x+y) = 16$
$x+y = 8$
Отсюда выразим сторону $y$: $y = 8-x$.

Площадь прямоугольника $S$ является функцией от длины его основания $x$ и вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Подставив выражение для $y$, получим:
$S(x) = x(8-x) = 8x - x^2$.
Таким образом, мы задали функцию площади формулой $S(x) = -x^2 + 8x$.

Чтобы найти, при каком значении $x$ функция принимает наибольшее значение, проанализируем её. $S(x) = -x^2 + 8x$ – это квадратичная функция, график которой – парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1). Наибольшее значение функция принимает в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы $x_в$ по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:
$x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.
Таким образом, функция площади принимает наибольшее значение при $x = 4$ см.

Геометрическое истолкование:
Если длина основания $x = 4$ см, то длина второй стороны $y = 8 - x = 8 - 4 = 4$ см.
Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом. Следовательно, из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат со стороной 4 см.

Ответ: функция задается формулой $S(x) = -x^2 + 8x$; наибольшее значение функция принимает при $x = 4$; геометрическое истолкование состоит в том, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.