Страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

266 Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4x + 3$;

б) $y = -x^2 + 4x - 3$;

в) $y = 2x^2 + 4x - 6;

г) $y = -2x^2 + 4x + 6;

д) $y = 0,5x^2 - x - 4;

е) $y = -0,5x^2 - x + 4;

ж) $y = -x^2 + 2x;

з) $y = \frac{1}{4}x^2 - x.

В каждом случае укажите:

1) наибольшее или наименьшее значение функции;

2) промежутки возрастания и убывания функции;

3) нули функции;

4) значения $x$, при которых $y > 0$, $y < 0$.

а) $y = x^2 - 4x + 3$

Для построения графика найдем ключевые характеристики функции. График - парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент $a=1 > 0$).

Координаты вершины параболы: $x_v = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$.

$y_v = y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина в точке $(2, -1)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение. Наименьшее значение функции: $y_{min} = -1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

3) нули функции: найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1, 3)$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y=-1$; 2) убывает на $(-\infty, 2]$, возрастает на $[2, +\infty)$; 3) нули функции: $x=1, x=3$; 4) $y > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (1, 3)$.

б) $y = -x^2 + 4x - 3$

График - парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-1 < 0$).

Координаты вершины: $x_v = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$.

$y_v = y(2) = -(2^2) + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$. Вершина в точке $(2, 1)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение. Наибольшее значение функции: $y_{max} = 1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция возрастает на $(-\infty, 2]$ и убывает на $[2, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $-x^2 + 4x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни $x_1 = 1, x_2 = 3$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (1, 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y=1$; 2) возрастает на $(-\infty, 2]$, убывает на $[2, +\infty)$; 3) нули функции: $x=1, x=3$; 4) $y > 0$ при $x \in (1, 3)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

в) $y = 2x^2 + 4x - 6$

График - парабола с ветвями, направленными вверх ($a=2 > 0$).

Координаты вершины: $x_v = -4/(2 \cdot 2) = -1$.

$y_v = y(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 6 = 2 - 4 - 6 = -8$. Вершина в точке $(-1, -8)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: наименьшее значение $y_{min} = -8$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция убывает на $(-\infty, -1]$ и возрастает на $[-1, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $2x^2 + 4x - 6 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни $x_1 = -3, x_2 = 1$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-3, 1)$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y=-8$; 2) убывает на $(-\infty, -1]$, возрастает на $[-1, +\infty)$; 3) нули функции: $x=-3, x=1$; 4) $y > 0$ при $x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-3, 1)$.

г) $y = -2x^2 + 4x + 6$

График - парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-2 < 0$).

Координаты вершины: $x_v = -4/(2 \cdot (-2)) = 1$.

$y_v = y(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 6 = -2 + 4 + 6 = 8$. Вершина в точке $(1, 8)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: наибольшее значение $y_{max} = 8$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $-2x^2 + 4x + 6 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни $x_1 = -1, x_2 = 3$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (-1, 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y=8$; 2) возрастает на $(-\infty, 1]$, убывает на $[1, +\infty)$; 3) нули функции: $x=-1, x=3$; 4) $y > 0$ при $x \in (-1, 3)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

д) $y = 0,5x^2 - x - 4$

График - парабола с ветвями, направленными вверх ($a=0,5 > 0$).

Координаты вершины: $x_v = -(-1)/(2 \cdot 0,5) = 1$.

$y_v = y(1) = 0,5(1)^2 - 1 - 4 = 0,5 - 5 = -4,5$. Вершина в точке $(1, -4,5)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: наименьшее значение $y_{min} = -4,5$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $0,5x^2 - x - 4 = 0 \implies x^2 - 2x - 8 = 0$. Корни $x_1 = -2, x_2 = 4$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-2, 4)$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y=-4,5$; 2) убывает на $(-\infty, 1]$, возрастает на $[1, +\infty)$; 3) нули функции: $x=-2, x=4$; 4) $y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-2, 4)$.

е) $y = -0,5x^2 - x + 4$

График - парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-0,5 < 0$).

Координаты вершины: $x_v = -(-1)/(2 \cdot (-0,5)) = 1/(-1) = -1$.

$y_v = y(-1) = -0,5(-1)^2 - (-1) + 4 = -0,5 + 1 + 4 = 4,5$. Вершина в точке $(-1, 4,5)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: наибольшее значение $y_{max} = 4,5$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и убывает на $[-1, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $-0,5x^2 - x + 4 = 0 \implies x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни $x_1 = -4, x_2 = 2$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (-4, 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y=4,5$; 2) возрастает на $(-\infty, -1]$, убывает на $[-1, +\infty)$; 3) нули функции: $x=-4, x=2$; 4) $y > 0$ при $x \in (-4, 2)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$.

ж) $y = -x^2 + 2x$

График - парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-1 < 0$).

Координаты вершины: $x_v = -2/(2 \cdot (-1)) = 1$.

$y_v = y(1) = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$. Вершина в точке $(1, 1)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: наибольшее значение $y_{max} = 1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $-x^2 + 2x = 0 \implies -x(x - 2) = 0$. Корни $x_1 = 0, x_2 = 2$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (0, 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y=1$; 2) возрастает на $(-\infty, 1]$, убывает на $[1, +\infty)$; 3) нули функции: $x=0, x=2$; 4) $y > 0$ при $x \in (0, 2)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

з) $y = \frac{1}{4}x^2 - x$

График - парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1/4 > 0$).

Координаты вершины: $x_v = -(-1)/(2 \cdot \frac{1}{4}) = 1/(1/2) = 2$.

$y_v = y(2) = \frac{1}{4}(2)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$. Вершина в точке $(2, -1)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: наименьшее значение $y_{min} = -1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция убывает на $(-\infty, 2]$ и возрастает на $[2, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $\frac{1}{4}x^2 - x = 0 \implies x(\frac{1}{4}x - 1) = 0$. Корни $x_1 = 0, x_2 = 4$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0, 4)$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y=-1$; 2) убывает на $(-\infty, 2]$, возрастает на $[2, +\infty)$; 3) нули функции: $x=0, x=4$; 4) $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (0, 4)$.

267 Постройте график функции:

a) $y = 2x^2 - 4x - 1$;

б) $y = x^2 + 2x - 4$;

в) $y = -x^2 + 6x - 7$;

г) $y = -2x^2 + 4x - 1$.

В каждом случае укажите нули функции, наименьшее (или наибольшее) значение функции.

Для построения графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ и анализа её свойств, мы будем следовать общему плану:

1. Определить направление ветвей параболы по знаку коэффициента $a$.
2. Найти координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам: $x_v = -\frac{b}{2a}$, $y_v = y(x_v)$.
3. Найти нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.
4. Определить наименьшее или наибольшее значение функции, которое равно $y_v$. Если $a > 0$, это наименьшее значение, если $a < 0$ — наибольшее.
5. Найти точку пересечения с осью Oy (при $x=0$, $y=c$) и несколько дополнительных точек для более точного построения графика.

а) $y = 2x^2 - 4x - 1$

1. Построение графика. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a = 2 > 0$.
2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$y_v = 2(1)^2 - 4(1) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3$
Вершина находится в точке $(1, -3)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1$.
3. Нули функции. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $2x^2 - 4x - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Таким образом, нули функции: $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ и $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$.
4. Наименьшее значение. Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Наименьшее значение функции равно $y_{min} = y_v = -3$.
5. Дополнительные точки. Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y = -1$, т.е. точка $(0, -1)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(2, -1)$.
Ответ: нули функции $1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ и $1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$, наименьшее значение функции $-3$.

б) $y = x^2 + 2x - 4$

1. Построение графика. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a = 1 > 0$.
2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 4 = 1 - 2 - 4 = -5$
Вершина находится в точке $(-1, -5)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$.
3. Нули функции. Решим уравнение $x^2 + 2x - 4 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$.
Нули функции: $x_1 = -1 - \sqrt{5}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{5}$.
4. Наименьшее значение. Ветви параболы направлены вверх, поэтому функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение функции: $y_{min} = y_v = -5$.
5. Дополнительные точки. Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = -4$, т.е. точка $(0, -4)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=-1$ будет $(-2, -4)$.
Ответ: нули функции $-1 - \sqrt{5}$ и $-1 + \sqrt{5}$, наименьшее значение функции $-5$.

в) $y = -x^2 + 6x - 7$

1. Построение графика. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a = -1 < 0$.
2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$
$y_v = -(3)^2 + 6(3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 2$
Вершина находится в точке $(3, 2)$. Ось симметрии — прямая $x = 3$.
3. Нули функции. Решим уравнение $-x^2 + 6x - 7 = 0$ (умножим на -1: $x^2 - 6x + 7 = 0$).
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.
Нули функции: $x_1 = 3 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{2}$.
4. Наибольшее значение. Ветви параболы направлены вниз, поэтому функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение функции: $y_{max} = y_v = 2$.
5. Дополнительные точки. Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = -7$, т.е. точка $(0, -7)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=3$ будет $(6, -7)$.
Ответ: нули функции $3 - \sqrt{2}$ и $3 + \sqrt{2}$, наибольшее значение функции $2$.

г) $y = -2x^2 + 4x - 1$

1. Построение графика. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a = -2 < 0$.
2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$
$y_v = -2(1)^2 + 4(1) - 1 = -2 + 4 - 1 = 1$
Вершина находится в точке $(1, 1)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.
3. Нули функции. Решим уравнение $-2x^2 + 4x - 1 = 0$ (умножим на -1: $2x^2 - 4x + 1 = 0$).
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Нули функции: $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
4. Наибольшее значение. Ветви параболы направлены вниз, поэтому функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение функции: $y_{max} = y_v = 1$.
5. Дополнительные точки. Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = -1$, т.е. точка $(0, -1)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(2, -1)$.
Ответ: нули функции $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$, наибольшее значение функции $1$.

268 График функции $y = f(x)$ пересекает оси координат в точках $A$, $B$ и $C$. Найдите неизвестную координату каждой из этих точек, если:

а) $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$; $A(0; ...)$, $B(...; 0)$, $C(...; 0);$

б) $f(x) = -x^2 + 22x - 120$; $A(0; ...)$, $B(...; 0)$, $C(...; 0);$

в) $f(x) = -x^2 + 25$; $A(0; ...)$, $B(...; 0)$, $C(...; 0);$

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 8$; $A(0; ...)$, $B(...; 0)$, $C(...; 0).$

а) $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$

График функции пересекает оси координат в точках A, B и C. Найдем неизвестные координаты этих точек.

1. Точка A(0; ...) — точка пересечения с осью ординат (осью Oy). Для нахождения ее y-координаты, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = f(0) = 3 \cdot (0)^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.

Таким образом, координаты точки A: $(0; 1)$.

2. Точки B(...; 0) и C(...; 0) — точки пересечения с осью абсцисс (осью Ox). Для нахождения их x-координат, приравняем функцию к нулю ($y = f(x) = 0$):

$3x^2 - 4x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Таким образом, координаты точек B и C: $(\frac{1}{3}; 0)$ и $(1; 0)$.

Ответ: $A(0; 1)$, $B(\frac{1}{3}; 0)$, $C(1; 0)$.

б) $f(x) = -x^2 + 22x - 120$

1. Точка A(0; ...) — точка пересечения с осью Oy. Подставим $x=0$:

$y = f(0) = -(0)^2 + 22 \cdot 0 - 120 = -120$.

Координаты точки A: $(0; -120)$.

2. Точки B(...; 0) и C(...; 0) — точки пересечения с осью Ox. Приравняем $f(x)$ к нулю:

$-x^2 + 22x - 120 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$x^2 - 22x + 120 = 0$

Решим с помощью дискриминанта:

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 484 - 480 = 4$.

Корни уравнения: $x = \frac{-(-22) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{22 \pm 2}{2}$.

$x_1 = \frac{22 - 2}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

$x_2 = \frac{22 + 2}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Координаты точек B и C: $(10; 0)$ и $(12; 0)$.

Ответ: $A(0; -120)$, $B(10; 0)$, $C(12; 0)$.

в) $f(x) = -x^2 + 25$

1. Точка A(0; ...) — точка пересечения с осью Oy. Подставим $x=0$:

$y = f(0) = -(0)^2 + 25 = 25$.

Координаты точки A: $(0; 25)$.

2. Точки B(...; 0) и C(...; 0) — точки пересечения с осью Ox. Приравняем $f(x)$ к нулю:

$-x^2 + 25 = 0$

$x^2 = 25$

$x = \pm\sqrt{25}$

$x_1 = -5$, $x_2 = 5$.

Координаты точек B и C: $(-5; 0)$ и $(5; 0)$.

Ответ: $A(0; 25)$, $B(-5; 0)$, $C(5; 0)$.

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 8$

1. Точка A(0; ...) — точка пересечения с осью Oy. Подставим $x=0$:

$y = f(0) = \frac{1}{2}(0)^2 - 8 = -8$.

Координаты точки A: $(0; -8)$.

2. Точки B(...; 0) и C(...; 0) — точки пересечения с осью Ox. Приравняем $f(x)$ к нулю:

$\frac{1}{2}x^2 - 8 = 0$

$\frac{1}{2}x^2 = 8$

$x^2 = 16$

$x = \pm\sqrt{16}$

$x_1 = -4$, $x_2 = 4$.

Координаты точек B и C: $(-4; 0)$ и $(4; 0)$.

Ответ: $A(0; -8)$, $B(-4; 0)$, $C(4; 0)$.

269 Функция задана формулой:

а) $y = 2x^2 + 7x + 3;$

б) $y = x^2 - 6x + 11;$

в) $y = -3x^2 + 12x;$

г) $y = -x^2 - 2x - 1.$

В каждом случае выполните следующие задания:

1) найдите, в какой точке график функции пересекает ось y;

2) определите, пересекает ли график ось x, и если да, то в каких точках;

3) покажите схематически расположение графика в координатной плоскости.

а) $y = 2x^2 + 7x + 3$

1) Чтобы найти точку пересечения графика с осью $y$, подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 2(0)^2 + 7(0) + 3 = 3$.
График пересекает ось $y$ в точке $(0; 3)$.

2) Чтобы определить, пересекает ли график ось $x$, приравняем $y$ к нулю и решим квадратное уравнение $2x^2 + 7x + 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, значит, график пересекает ось $x$ в двух точках.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Точки пересечения с осью $x$: $(-3; 0)$ и $(-0.5; 0)$.

3) График функции — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $2$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot 2} = -1.75$.
$y_в = 2(-1.75)^2 + 7(-1.75) + 3 = 2(3.0625) - 12.25 + 3 = 6.125 - 12.25 + 3 = -3.125$.
Вершина находится в точке $(-1.75; -3.125)$.
Схематически, это парабола с ветвями вверх, вершиной в IV четверти в точке $(-1.75; -3.125)$, пересекающая ось $y$ в точке $(0; 3)$ и ось $x$ в точках $(-3; 0)$ и $(-0.5; 0)$.

Ответ: 1) $(0; 3)$; 2) да, в точках $(-3; 0)$ и $(-0.5; 0)$; 3) парабола с ветвями вверх, вершина в точке $(-1.75; -3.125)$.

б) $y = x^2 - 6x + 11$

1) Найдем точку пересечения графика с осью $y$, подставив $x=0$:
$y = 0^2 - 6(0) + 11 = 11$.
Точка пересечения с осью $y$: $(0; 11)$.

2) Найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $x^2 - 6x + 11 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, график не пересекает ось $x$.

3) График — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительный), значит, ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
$y_в = 3^2 - 6(3) + 11 = 9 - 18 + 11 = 2$.
Вершина находится в точке $(3; 2)$.
Схематически, это парабола с ветвями вверх, вершиной в I четверти в точке $(3; 2)$. Так как вершина находится выше оси $x$ и ветви направлены вверх, график полностью расположен в I и II координатных четвертях. Он пересекает ось $y$ в точке $(0; 11)$.

Ответ: 1) $(0; 11)$; 2) нет, не пересекает; 3) парабола с ветвями вверх, вершина в точке $(3; 2)$.

в) $y = -3x^2 + 12x$

1) Найдем точку пересечения с осью $y$, подставив $x=0$:
$y = -3(0)^2 + 12(0) = 0$.
График пересекает ось $y$ в начале координат, в точке $(0; 0)$.

2) Найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $-3x^2 + 12x = 0$.
Вынесем общий множитель: $-3x(x - 4) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Точки пересечения с осью $x$: $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

3) График — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-3$ (отрицательный), значит, ветви направлены вниз. Найдем координаты вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2$.
$y_в = -3(2)^2 + 12(2) = -12 + 24 = 12$.
Вершина находится в точке $(2; 12)$.
Схематически, это парабола с ветвями вниз, вершиной в I четверти в точке $(2; 12)$. Она проходит через начало координат $(0; 0)$ и пересекает ось $x$ еще раз в точке $(4; 0)$.

Ответ: 1) $(0; 0)$; 2) да, в точках $(0; 0)$ и $(4; 0)$; 3) парабола с ветвями вниз, вершина в точке $(2; 12)$.

г) $y = -x^2 - 2x - 1$

1) Найдем точку пересечения с осью $y$, подставив $x=0$:
$y = -(0)^2 - 2(0) - 1 = -1$.
Точка пересечения с осью $y$: $(0; -1)$.

2) Найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $-x^2 - 2x - 1 = 0$.
Умножим обе части на -1: $x^2 + 2x + 1 = 0$.
Это формула полного квадрата: $(x+1)^2 = 0$.
Уравнение имеет один корень (кратности 2): $x = -1$.
График не пересекает, а касается оси $x$ в одной точке: $(-1; 0)$.

3) График — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), значит, ветви направлены вниз. Так как уравнение имеет один корень, вершина параболы лежит на оси $x$.
Координаты вершины: $(-1; 0)$.
Схематически, это парабола с ветвями вниз, вершина которой находится на оси $x$ в точке $(-1; 0)$. Парабола пересекает ось $y$ в точке $(0; -1)$ и полностью расположена в III и IV координатных четвертях, касаясь оси $x$.

Ответ: 1) $(0; -1)$; 2) да, в точке $(-1; 0)$ (касание); 3) парабола с ветвями вниз, вершина в точке $(-1; 0)$.