Номер 267, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 267, страница 109.

267 Постройте график функции:

a) $y = 2x^2 - 4x - 1$;

б) $y = x^2 + 2x - 4$;

в) $y = -x^2 + 6x - 7$;

г) $y = -2x^2 + 4x - 1$.

В каждом случае укажите нули функции, наименьшее (или наибольшее) значение функции.

Для построения графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ и анализа её свойств, мы будем следовать общему плану:

1. Определить направление ветвей параболы по знаку коэффициента $a$.
2. Найти координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам: $x_v = -\frac{b}{2a}$, $y_v = y(x_v)$.
3. Найти нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.
4. Определить наименьшее или наибольшее значение функции, которое равно $y_v$. Если $a > 0$, это наименьшее значение, если $a < 0$ — наибольшее.
5. Найти точку пересечения с осью Oy (при $x=0$, $y=c$) и несколько дополнительных точек для более точного построения графика.

а) $y = 2x^2 - 4x - 1$

1. Построение графика. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a = 2 > 0$.
2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$y_v = 2(1)^2 - 4(1) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3$
Вершина находится в точке $(1, -3)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1$.
3. Нули функции. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $2x^2 - 4x - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Таким образом, нули функции: $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ и $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$.
4. Наименьшее значение. Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Наименьшее значение функции равно $y_{min} = y_v = -3$.
5. Дополнительные точки. Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y = -1$, т.е. точка $(0, -1)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(2, -1)$.
Ответ: нули функции $1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ и $1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$, наименьшее значение функции $-3$.

б) $y = x^2 + 2x - 4$

1. Построение графика. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a = 1 > 0$.
2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 4 = 1 - 2 - 4 = -5$
Вершина находится в точке $(-1, -5)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$.
3. Нули функции. Решим уравнение $x^2 + 2x - 4 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$.
Нули функции: $x_1 = -1 - \sqrt{5}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{5}$.
4. Наименьшее значение. Ветви параболы направлены вверх, поэтому функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение функции: $y_{min} = y_v = -5$.
5. Дополнительные точки. Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = -4$, т.е. точка $(0, -4)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=-1$ будет $(-2, -4)$.
Ответ: нули функции $-1 - \sqrt{5}$ и $-1 + \sqrt{5}$, наименьшее значение функции $-5$.

в) $y = -x^2 + 6x - 7$

1. Построение графика. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a = -1 < 0$.
2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$
$y_v = -(3)^2 + 6(3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 2$
Вершина находится в точке $(3, 2)$. Ось симметрии — прямая $x = 3$.
3. Нули функции. Решим уравнение $-x^2 + 6x - 7 = 0$ (умножим на -1: $x^2 - 6x + 7 = 0$).
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.
Нули функции: $x_1 = 3 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{2}$.
4. Наибольшее значение. Ветви параболы направлены вниз, поэтому функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение функции: $y_{max} = y_v = 2$.
5. Дополнительные точки. Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = -7$, т.е. точка $(0, -7)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=3$ будет $(6, -7)$.
Ответ: нули функции $3 - \sqrt{2}$ и $3 + \sqrt{2}$, наибольшее значение функции $2$.

г) $y = -2x^2 + 4x - 1$

1. Построение графика. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a = -2 < 0$.
2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$
$y_v = -2(1)^2 + 4(1) - 1 = -2 + 4 - 1 = 1$
Вершина находится в точке $(1, 1)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.
3. Нули функции. Решим уравнение $-2x^2 + 4x - 1 = 0$ (умножим на -1: $2x^2 - 4x + 1 = 0$).
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Нули функции: $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
4. Наибольшее значение. Ветви параболы направлены вниз, поэтому функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение функции: $y_{max} = y_v = 1$.
5. Дополнительные точки. Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = -1$, т.е. точка $(0, -1)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(2, -1)$.
Ответ: нули функции $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$, наибольшее значение функции $1$.