Номер 274, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 274, страница 111.

274 Постройте график функции на заданном промежутке; укажите наименьшее и наибольшее значения функции; укажите область значений функции:

a) $y = 2x^2 - 6x + 4$; $[0; 2]$;

б) $y = -2x^2 + 4x + 6$; $[-1; 2]$;

В) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 5$; $[-4; 1]$;

Г) $y = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$; $[-4; 2]$.

а) $y = 2x^2 - 6x + 4$ на промежутке $[0; 2]$

1. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.
$x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.
Абсцисса вершины $x_в = 1.5$ принадлежит заданному промежутку $[0; 2]$.
Ордината вершины: $y_в = y(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 4 = 2 \cdot 2.25 - 9 + 4 = 4.5 - 9 + 4 = -0.5$.
Координаты вершины: $(1.5; -0.5)$.

3. Поскольку ветви параболы направлены вверх и вершина находится внутри заданного промежутка, наименьшее значение функции на этом промежутке будет в вершине.
$y_{наим} = y_в = -0.5$.

4. Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка. Найдем значения функции в точках $x=0$ и $x=2$:
$y(0) = 2 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 4 = 4$.
$y(2) = 2 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$.
Сравнивая значения на концах промежутка, получаем, что $y_{наиб} = 4$.

5. Область значений функции на промежутке $[0; 2]$ — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения: $[-0.5; 4]$.

6. Для построения графика на промежутке $[0; 2]$ нужно отметить ключевые точки: вершину $(1.5; -0.5)$ и концы отрезка графика $(0; 4)$ и $(2; 0)$. Затем соединить их плавной кривой, являющейся частью параболы.

Ответ: наименьшее значение функции $-0.5$, наибольшее значение функции $4$, область значений $E(y) = [-0.5; 4]$.

б) $y = -2x^2 + 4x + 6$ на промежутке $[-1; 2]$

1. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-2$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы.
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.
Абсцисса вершины $x_в = 1$ принадлежит заданному промежутку $[-1; 2]$.
$y_в = y(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 6 = -2 + 4 + 6 = 8$.
Координаты вершины: $(1; 8)$.

3. Поскольку ветви параболы направлены вниз и вершина находится внутри заданного промежутка, наибольшее значение функции на этом промежутке будет в вершине.
$y_{наиб} = y_в = 8$.

4. Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка. Найдем значения функции в точках $x=-1$ и $x=2$:
$y(-1) = -2(-1)^2 + 4(-1) + 6 = -2 - 4 + 6 = 0$.
$y(2) = -2(2)^2 + 4(2) + 6 = -8 + 8 + 6 = 6$.
Сравнивая значения на концах промежутка, получаем, что $y_{наим} = 0$.

5. Область значений функции на промежутке $[-1; 2]$: $[0; 8]$.

6. Для построения графика на промежутке $[-1; 2]$ нужно отметить ключевые точки: вершину $(1; 8)$ и концы отрезка графика $(-1; 0)$ и $(2; 6)$. Затем соединить их плавной кривой (частью параболы).

Ответ: наименьшее значение функции $0$, наибольшее значение функции $8$, область значений $E(y) = [0; 8]$.

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 5$ на промежутке $[-4; 1]$

1. График функции — парабола. Коэффициент $a = -\frac{1}{2} < 0$, ветви направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы.
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{-2}{-1} = -2$.
Абсцисса вершины $x_в = -2$ принадлежит заданному промежутку $[-4; 1]$.
$y_в = y(-2) = -\frac{1}{2}(-2)^2 - 2(-2) - 5 = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 4 - 5 = -2 + 4 - 5 = -3$.
Координаты вершины: $(-2; -3)$.

3. Так как ветви параболы направлены вниз и вершина находится внутри заданного промежутка, наибольшее значение функции на этом промежутке достигается в вершине.
$y_{наиб} = y_в = -3$.

4. Наименьшее значение будет на одном из концов промежутка.
$y(-4) = -\frac{1}{2}(-4)^2 - 2(-4) - 5 = -\frac{1}{2} \cdot 16 + 8 - 5 = -8 + 8 - 5 = -5$.
$y(1) = -\frac{1}{2}(1)^2 - 2(1) - 5 = -0.5 - 2 - 5 = -7.5$.
Сравнивая значения, получаем, что $y_{наим} = -7.5$.

5. Область значений функции на промежутке $[-4; 1]$: $[-7.5; -3]$.

6. Для построения графика на промежутке $[-4; 1]$ нужно отметить ключевые точки: вершину $(-2; -3)$ и концы отрезка графика $(-4; -5)$ и $(1; -7.5)$. Затем соединить их плавной кривой (частью параболы).

Ответ: наименьшее значение функции $-7.5$, наибольшее значение функции $-3$, область значений $E(y) = [-7.5; -3]$.

г) $y = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$ на промежутке $[-4; 2]$

1. График функции — парабола. Коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, ветви направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы.
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$.
Абсцисса вершины $x_в = -2$ принадлежит заданному промежутку $[-4; 2]$.
$y_в = y(-2) = \frac{1}{4}(-2)^2 + (-2) + 1 = \frac{1}{4} \cdot 4 - 2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.
Координаты вершины: $(-2; 0)$.

3. Так как ветви параболы направлены вверх и вершина находится внутри заданного промежутка, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в вершине.
$y_{наим} = y_в = 0$.

4. Наибольшее значение будет на одном из концов промежутка.
$y(-4) = \frac{1}{4}(-4)^2 + (-4) + 1 = \frac{1}{4} \cdot 16 - 4 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$.
$y(2) = \frac{1}{4}(2)^2 + 2 + 1 = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$.
Сравнивая значения, получаем, что $y_{наиб} = 4$.

5. Область значений функции на промежутке $[-4; 2]$: $[0; 4]$.

6. Для построения графика на промежутке $[-4; 2]$ нужно отметить ключевые точки: вершину $(-2; 0)$ и концы отрезка графика $(-4; 1)$ и $(2; 4)$. Затем соединить их плавной кривой (частью параболы).

Ответ: наименьшее значение функции $0$, наибольшее значение функции $4$, область значений $E(y) = [0; 4]$.