Номер 279, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 279, страница 112.

кольца с изменением $x$ от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

279 На рисунке 2.38 изображено кольцо, радиус внешнего круга которого равен 2 см.

1) Запишите формулу, выражающую зависимость площади $A$ кольца от его ширины $x$.

2) Начертите график зависимости $A$ от $x$.

3) Какова область определения рассматриваемой функции?

4) Опишите, как меняется площадь $A$ кольца с изменением $x$ от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

Рис. 2.38

1) Запишите формулу, выражающую зависимость площади A кольца от его ширины x.

Площадь кольца (A) равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов.
Радиус внешнего круга, согласно условию, равен $R = 2$ см. Его площадь составляет $A_{внеш} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.
Ширина кольца $x$ — это разность между радиусом внешнего круга $R$ и радиусом внутреннего круга $r$. Таким образом, $x = R - r$.
Отсюда можно выразить радиус внутреннего круга: $r = R - x = 2 - x$.
Площадь внутреннего круга равна $A_{внутр} = \pi r^2 = \pi (2 - x)^2$.
Следовательно, площадь кольца A как функция от его ширины x выражается формулой:
$A(x) = A_{внеш} - A_{внутр} = 4\pi - \pi (2 - x)^2$.
Упростим это выражение, раскрыв скобки:
$A(x) = \pi [4 - (2 - x)^2] = \pi [4 - (4 - 4x + x^2)] = \pi (4 - 4 + 4x - x^2) = \pi (4x - x^2)$.

Ответ: $A(x) = \pi (4x - x^2)$.

2) Начертите график зависимости A от x.

Функция $A(x) = \pi (4x - x^2)$ является квадратичной ($A(x) = -\pi x^2 + 4\pi x$). Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-\pi < 0$).
Из пункта 3 следует, что функция определена на отрезке $x \in [0, 2]$.
Найдем значения функции в ключевых точках:
- При $x=0$: $A(0) = \pi(4 \cdot 0 - 0^2) = 0$.
- При $x=1$: $A(1) = \pi(4 \cdot 1 - 1^2) = 3\pi$.
- При $x=2$: $A(2) = \pi(4 \cdot 2 - 2^2) = \pi(8 - 4) = 4\pi$.
Абсцисса вершины параболы $x_v = - \frac{4\pi}{2(-\pi)} = 2$. Это означает, что на рассматриваемом отрезке $[0, 2]$ функция постоянно возрастает, достигая своего максимума в конечной точке отрезка.
Ниже представлен график функции $A(x)$ на отрезке $[0, 2]$:

Ответ: График представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(0, 0)$ и заканчивается в своей вершине в точке $(2, 4\pi)$.

3) Какова область определения рассматриваемой функции?

Область определения функции $A(x)$ находится исходя из геометрического смысла входящих в нее величин.
1. Ширина кольца $x$ не может быть отрицательной величиной, следовательно, $x \ge 0$.
2. Радиус внутреннего круга $r = 2 - x$ также не может быть отрицательным, так как это геометрическая длина. Поэтому $2 - x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 2$.
Объединяя эти два условия, получаем, что ширина $x$ может принимать значения от 0 до 2 включительно.

Ответ: Область определения функции: $x \in [0, 2]$.

4) Опишите, как меняется площадь A кольца с изменением x от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

Чтобы проанализировать, как меняется площадь $A(x)$, найдем производную функции $A(x) = \pi(4x - x^2)$:
$A'(x) = (\pi(4x - x^2))' = \pi(4 - 2x) = 2\pi(2 - x)$.
На всей области определения $x \in [0, 2]$, значение производной $A'(x) = 2\pi(2 - x)$ является неотрицательным ($A'(x) \ge 0$), при этом $A'(x)=0$ только в точке $x=2$. Это говорит о том, что функция $A(x)$ монотонно возрастает на всем отрезке $[0, 2]$.
- С изменением $x$ от 0 до 2: площадь $A$ кольца непрерывно увеличивается с $A(0) = 0$ до $A(2) = 4\pi$.
- С изменением $x$ от 0 до 1: площадь $A$ кольца увеличивается с $A(0) = 0$ до $A(1) = 3\pi$.
- С изменением $x$ от 1 до 2: площадь $A$ кольца продолжает увеличиваться с $A(1) = 3\pi$ до $A(2) = 4\pi$.

Ответ: При увеличении ширины кольца $x$ от 0 до 2 площадь кольца $A$ монотонно возрастает от 0 до $4\pi$. На интервале от 0 до 1 площадь возрастает от 0 до $3\pi$, а на интервале от 1 до 2 — от $3\pi$ до $4\pi$.