Номер 286, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 286, страница 114.

В задачах 285–286 воспользуйтесь схематическими графиками.

286. Площадь прямоугольника $S$ с периметром, равным 16 см, является функцией длины его основания $x$. Задайте эту функцию формулой. Определите, при каком значении $x$ функция принимает наибольшее значение. Дайте геометрическое истолкование вашего ответа.

285. ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Высота $h$ (в метрах), на которую поднимется мяч, в зависимости от времени $t$ (в секундах) описывается квадратичной функцией, основанной на законе движения тела, брошенного вертикально вверх: $h(t) = v_0t - \frac{gt^2}{2}$.

В этой формуле $v_0$ — начальная скорость, а $g$ — ускорение свободного падения. По условию задачи $v_0 = 15$ м/c. Примем $g \approx 10$ м/с².

Таким образом, функция высоты имеет вид: $h(t) = 15t - \frac{10t^2}{2} = 15t - 5t^2$

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный, равен -5). Максимальное значение функции достигается в вершине параболы.

Найдем время $t_в$, в которое достигается максимальная высота. Это абсцисса вершины параболы $y = at^2 + bt + c$, которая вычисляется по формуле $t_в = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -5$ и $b = 15$.

$t_в = -\frac{15}{2 \cdot (-5)} = -\frac{15}{-10} = 1.5$ с.

Теперь найдем максимальную высоту $h_{max}$, подставив значение $t_в = 1.5$ с в нашу функцию:

$h_{max} = h(1.5) = 15 \cdot (1.5) - 5 \cdot (1.5)^2 = 22.5 - 5 \cdot 2.25 = 22.5 - 11.25 = 11.25$ м.

Ответ: мяч поднимется на максимальную высоту 11,25 м.

286

1. Задание функции формулой.

Пусть $x$ — длина основания прямоугольника (в см), а $y$ — длина его второй стороны (в см). Периметр прямоугольника $P$ равен $P = 2(x+y)$. По условию, $P=16$ см.

$2(x+y) = 16$

$x+y = 8$

Отсюда выразим $y$ через $x$: $y = 8-x$.

Площадь прямоугольника $S$ является функцией от $x$ и вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Подставим выражение для $y$:

$S(x) = x(8-x) = 8x - x^2$.

Итак, искомая формула: $S(x) = -x^2 + 8x$.

2. Определение значения $x$, при котором функция принимает наибольшее значение.

Функция $S(x) = -x^2 + 8x$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1$). Наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $x_в$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $a = -1$ и $b = 8$.

$x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.

Следовательно, функция площади принимает наибольшее значение при $x = 4$ см.

3. Геометрическое истолкование.

Мы выяснили, что площадь максимальна, когда длина основания $x = 4$ см. Найдем длину второй стороны $y$:

$y = 8 - x = 8 - 4 = 4$ см.

Так как $x=y=4$ см, то стороны прямоугольника равны. Это означает, что прямоугольник является квадратом.

Геометрическое истолкование: из всех прямоугольников с заданным периметром (в данном случае 16 см) наибольшую площадь имеет квадрат.

Ответ: функция $S(x) = 8x - x^2$ принимает наибольшее значение при $x=4$. Геометрическое истолкование состоит в том, что из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат со стороной 4 см.