Номер 292, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 292, страница 118.

292 a) $x^2 + 3 > 0;$

Д) $2x^2 + 4x + 2 \ge 0;$

б) $-x^2 - 2 \le 0;$

е) $x^2 - 6x + 9 < 0;$

В) $x^2 - 4x + 7 \le 0;$

ж) $-3x^2 \le 0;$

Г) $-x^2 + 4x - 5 \ge 0;$

з) $2x^2 > 0.$

а) $x^2 + 3 > 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Если к неотрицательному числу прибавить 3, результат всегда будет больше или равен 3. $x^2 + 3 \ge 3$. Поскольку $3 > 0$, то и $x^2 + 3 > 0$ для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $-x^2 - 2 \le 0$

Рассмотрим выражение $-x^2 - 2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $-x^2 \le 0$. Если из неположительного числа вычесть 2, результат будет меньше или равен -2. $-x^2 - 2 \le -2$. Поскольку $-2 \le 0$, то и $-x^2 - 2 \le 0$ для любого действительного числа $x$. Другой способ - умножить неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 + 2 \ge 0$. Это неравенство верно для всех $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно $x^2 + 2 \ge 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $x^2 - 4x + 7 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 7$. Это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 4x + 7 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$. Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола лежит выше оси Ox. Таким образом, выражение $x^2 - 4x + 7$ всегда положительно. Неравенство $x^2 - 4x + 7 \le 0$ требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю, что невозможно.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

г) $-x^2 + 4x - 5 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + 4x - 5$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$). Найдем нули функции, решив уравнение $-x^2 + 4x - 5 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 16 - 20 = -4$. Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола лежит ниже оси Ox. Таким образом, выражение $-x^2 + 4x - 5$ всегда отрицательно. Неравенство $-x^2 + 4x - 5 > 0$ требует, чтобы выражение было положительным, что невозможно.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

д) $2x^2 + 4x + 2 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 2 (так как $2 > 0$, знак неравенства не меняется): $x^2 + 2x + 1 \ge 0$. Левая часть является полным квадратом: $(x+1)^2$. Неравенство принимает вид $(x+1)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

е) $x^2 - 6x + 9 < 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом: $(x-3)^2$. Неравенство принимает вид $(x-3)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-3)^2 \ge 0$. Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых выражение $(x-3)^2$ было бы строго меньше нуля.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

ж) $-3x^2 \le 0$

Разделим обе части неравенства на -3, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

з) $2x^2 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2: $x^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, $x^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $x=0$. Следовательно, неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.