Номер 298, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 298, страница 119.

298 a) $(x - 2)^2 > 4 - x^2;$

б) $(x + 3)^2 < x^2 - 9;$

В) $3x^2 - 6x < 8 - 6x^2;$

Г) $5x^2 + 17x > 5x - 4.$

а) $(x - 2)^2 > 4 - x^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$x^2 - 4x + 4 > 4 - x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства и приведем подобные:

$x^2 - 4x + 4 - 4 + x^2 > 0$

$2x^2 - 4x > 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x^2 - 2x > 0$

Разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(x - 2) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Это парабола $y = x^2 - 2x$, ветви которой направлены вверх. Значения функции больше нуля на промежутках, находящихся вне корней.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$

б) $(x + 3)^2 < x^2 - 9$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$x^2 + 6x + 9 < x^2 - 9$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены - в правую:

$x^2 - x^2 + 6x < -9 - 9$

$6x < -18$

Разделим обе части неравенства на 6 (знак неравенства не меняется):

$x < -3$

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3)$

в) $3x^2 - 6x < 8 - 6x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$3x^2 - 6x - 8 + 6x^2 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$9x^2 - 6x - 8 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9x^2 - 6x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-8) = 36 + 288 = 324 = 18^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 18}{2 \cdot 9} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 18}{2 \cdot 9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$

Парабола $y = 9x^2 - 6x - 8$ имеет ветви, направленные вверх ($a=9>0$). Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$

г) $5x^2 + 17x > 5x - 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$5x^2 + 17x - 5x + 4 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^2 + 12x + 4 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 + 12x + 4 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64 = 8^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$

Парабола $y = 5x^2 + 12x + 4$ имеет ветви, направленные вверх ($a=5>0$). Неравенство $> 0$ выполняется на промежутках вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (-\frac{2}{5}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-\frac{2}{5}, +\infty)$