Номер 303, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 303, страница 119.

303 a) Найдите решения неравенства $5x^2 \ge 4x + 1$, принадлежащие промежутку $[-2; 2]$.

b) Найдите решения неравенства $5x - 1 > 4x^2$, принадлежащие промежутку $[\frac{1}{3}; \frac{3}{2}]$.

а)

Для начала решим квадратное неравенство $5x^2 \ge 4x + 1$. Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартный вид:

$5x^2 - 4x - 1 \ge 0$

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 4x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -0.2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=5>0$), ветви параболы $y = 5x^2 - 4x - 1$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $5x^2 - 4x - 1 \ge 0$ выполняется на промежутках, где парабола находится на оси абсцисс или выше неё. Это происходит при $x \le x_1$ и $x \ge x_2$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -0.2] \cup [1; +\infty)$.

Теперь необходимо найти решения, принадлежащие промежутку $[-2; 2]$. Для этого найдем пересечение множества решений неравенства с заданным промежутком:

$( (-\infty; -0.2] \cup [1; +\infty) ) \cap [-2; 2]$

Пересечение $[-2; 2]$ с $(-\infty; -0.2]$ дает промежуток $[-2; -0.2]$.

Пересечение $[-2; 2]$ с $[1; +\infty)$ дает промежуток $[1; 2]$.

Объединив эти два промежутка, получаем окончательное решение.

Ответ: $[-2; -0.2] \cup [1; 2]$.

б)

Рассмотрим неравенство $5x - 1 > 4x^2$. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство:

$4x^2 - 5x + 1 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - 5x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Ветви параболы $y = 4x^2 - 5x + 1$ направлены вверх ($a=4>0$). Неравенство $4x^2 - 5x + 1 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси абсцисс, то есть строго между корнями.

Решение неравенства: $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.

Теперь найдем решения, принадлежащие промежутку $[\frac{1}{3}; \frac{3}{2}]$. Для этого найдем пересечение полученного интервала с заданным отрезком:

$(\frac{1}{4}; 1) \cap [\frac{1}{3}; \frac{3}{2}]$

Так как $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$ и $1 < \frac{3}{2}$, то пересечением этих двух множеств будет промежуток от $\frac{1}{3}$ (включительно) до $1$ (не включительно).

Ответ: $[\frac{1}{3}; 1)$.