Номер 296, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 296, страница 119.

296 a) $(2 - x)(x - 4) > 0;$

б) $(x + 8)(1 - x) \le 0;$

в) $2x(x + 3) \ge 0;$

г) $0.5x(10 - x) < 0.$

а) Для решения неравенства $(2-x)(x-4) > 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдём корни соответствующего уравнения $(2-x)(x-4) = 0$. Получаем $2-x=0 \Rightarrow x_1=2$ и $x-4=0 \Rightarrow x_2=4$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, 2)$, $(2, 4)$ и $(4, +\infty)$. Так как неравенство строгое, точки $x=2$ и $x=4$ не входят в решение. Определим знак выражения на каждом интервале, подставляя пробные точки.

• При $x=0$ (интервал $(-\infty, 2)$): $(2-0)(0-4) = -8 < 0$.
• При $x=3$ (интервал $(2, 4)$): $(2-3)(3-4) = (-1)(-1) = 1 > 0$.
• При $x=5$ (интервал $(4, +\infty)$): $(2-5)(5-4) = -3(1) = -3 < 0$.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше нуля. Этому условию соответствует интервал $(2, 4)$.
Ответ: $x \in (2, 4)$.

б) Решим неравенство $(x+8)(1-x) \le 0$ методом интервалов. Найдём нули функции, приравняв выражение к нулю: $(x+8)(1-x) = 0$. Корни: $x+8=0 \Rightarrow x_1=-8$ и $1-x=0 \Rightarrow x_2=1$. Поскольку неравенство нестрогое, точки $x=-8$ и $x=1$ включаются в решение. Они делят числовую ось на интервалы $(-\infty, -8]$, $[-8, 1]$ и $[1, +\infty)$. Определим знаки на интервалах.

• При $x=-10$ (интервал $(-\infty, -8]$): $(-10+8)(1-(-10)) = (-2)(11) = -22 \le 0$.
• При $x=0$ (интервал $[-8, 1]$): $(0+8)(1-0) = 8 > 0$.
• При $x=2$ (интервал $[1, +\infty)$): $(2+8)(1-2) = 10(-1) = -10 \le 0$.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Этому условию соответствуют два интервала.
Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup [1, +\infty)$.

в) Решим неравенство $2x(x+3) \ge 0$. Найдём нули выражения: $2x(x+3) = 0$. Корни: $2x=0 \Rightarrow x_1=0$ и $x+3=0 \Rightarrow x_2=-3$. Неравенство нестрогое, поэтому точки $x=-3$ и $x=0$ являются частью решения. Отметим их на числовой оси, которая разделится на интервалы $(-\infty, -3]$, $[-3, 0]$ и $[0, +\infty)$. Выражение $2x(x+3)=2x^2+6x$ задаёт параболу с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней и отрицательна между ними.

• На интервале $(-\infty, -3]$ выражение $2x(x+3) \ge 0$.
• На интервале $[-3, 0]$ выражение $2x(x+3) \le 0$.
• На интервале $[0, +\infty)$ выражение $2x(x+3) \ge 0$.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty)$.

г) Решим неравенство $0.5x(10-x) < 0$. Найдём нули: $0.5x(10-x) = 0$. Корни: $0.5x=0 \Rightarrow x_1=0$ и $10-x=0 \Rightarrow x_2=10$. Неравенство строгое, поэтому точки $x=0$ и $x=10$ не входят в решение. Они делят числовую ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 10)$ и $(10, +\infty)$. Выражение $0.5x(10-x) = -0.5x^2+5x$ задаёт параболу с ветвями вниз, поэтому она отрицательна вне корней и положительна между ними.

• На интервале $(-\infty, 0)$ выражение $0.5x(10-x) < 0$.
• На интервале $(0, 10)$ выражение $0.5x(10-x) > 0$.
• На интервале $(10, +\infty)$ выражение $0.5x(10-x) < 0$.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (10, +\infty)$.