Номер 297, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 297, страница 119.

297 a) $4x(x+2) < 5;$

б) $(2x+1)(x+1) > 3;$

В) $3x(1-x) \le -6;$

Г) $(1-2x)(1-3x) \le 2.$

а) $4x(x + 2) < 5$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть неравенства, чтобы получить квадратное неравенство:

$4x^2 + 8x < 5$

$4x^2 + 8x - 5 < 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 8x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$

Мы решаем неравенство $4x^2 + 8x - 5 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=4 > 0$), ветви параболы $y = 4x^2 + 8x - 5$ направлены вверх. Значения функции меньше нуля (то есть парабола находится ниже оси x) между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-2.5; 0.5)$.

Ответ: $x \in (-2.5; 0.5)$.

б) $(2x + 1)(x + 1) > 3$

Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду:

$2x^2 + 2x + x + 1 > 3$

$2x^2 + 3x + 1 - 3 > 0$

$2x^2 + 3x - 2 > 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x - 2$ направлены вверх ($a=2 > 0$), поэтому значения функции больше нуля (парабола выше оси x) вне интервала между корнями.

Следовательно, решением является объединение интервалов $(-\infty; -2)$ и $(0.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0.5; +\infty)$.

в) $3x(1 - x) \le -6$

Раскроем скобки и преобразуем неравенство:

$3x - 3x^2 \le -6$

Перенесем все члены в одну сторону: $-3x^2 + 3x + 6 \le 0$.

Для удобства разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - x - 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -2. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 - x - 2$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Значения функции не меньше нуля (парабола на оси x или выше) при значениях $x$ на корнях и вне интервала между ними.

Следовательно, решением является $x \le -1$ или $x \ge 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

г) $(1 - 2x)(1 - 3x) \le 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 - 3x - 2x + 6x^2 \le 2$

$6x^2 - 5x + 1 \le 2$

$6x^2 - 5x - 1 \le 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $6x^2 - 5x - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

$x_2 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$

Ветви параболы $y = 6x^2 - 5x - 1$ направлены вверх ($a=6 > 0$). Значения функции не больше нуля (парабола на оси x или ниже) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $-\frac{1}{6} \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{6}; 1]$.