Номер 299, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 299, страница 119.

299 РАССУЖДАЕМ Составьте какое-нибудь квадратное неравенство:

а) решением которого является любое действительное число;

б) которое не имеет решений.

а) решением которого является любое действительное число;

Чтобы решением квадратного неравенства было любое действительное число, график соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ должен полностью находиться выше оси абсцисс (для знака $>$) или не ниже оси абсцисс (для знака $\ge$).

Рассмотрим случай, когда неравенство имеет вид $ax^2 + bx + c > 0$. Для того чтобы оно было верно для любого $x$, парабола $y = ax^2 + bx + c$ должна целиком располагаться в верхней полуплоскости. Это возможно при выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх, что означает $a > 0$.
2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс (и не касаться ее), что означает, что у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ нет действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен: $D < 0$.

Составим пример. Выберем простые коэффициенты, удовлетворяющие этим условиям. Пусть $a = 1$. Это удовлетворяет условию $a > 0$. Теперь подберем $b$ и $c$ так, чтобы $D < 0$. Возьмем $b = 0$. Условие $D < 0$ принимает вид $0^2 - 4 \cdot 1 \cdot c < 0$, что упрощается до $-4c < 0$, или $c > 0$. Возьмем простейшее значение $c$, удовлетворяющее этому условию, например, $c = 1$.

Таким образом, мы получаем неравенство $x^2 + 1 > 0$. Проверим его. Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2 \ge 0$. Прибавляя 1 к обеим частям, получаем $x^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, то неравенство $x^2 + 1 > 0$ действительно выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x^2 + 1 > 0$.

б) которое не имеет решений.

Квадратное неравенство не имеет решений, если оно ложно для любого действительного значения $x$. Рассмотрим неравенство вида $ax^2 + bx + c < 0$. Оно не будет иметь решений, если выражение $ax^2 + bx + c$ никогда не будет отрицательным, то есть если для всех $x$ выполняется $ax^2 + bx + c \ge 0$.

Как мы выяснили в пункте а), неравенство $ax^2 + bx + c \ge 0$ выполняется для всех $x$, если ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх ($a > 0$) и парабола не пересекает ось абсцисс ($D = b^2 - 4ac \le 0$).

Мы можем использовать те же коэффициенты, что и в предыдущем пункте: $a=1$, $b=0$, $c=1$. Для них $a > 0$ и $D = -4 < 0$. Соответствующая квадратичная функция $y = x^2 + 1$ принимает только положительные значения ($x^2 + 1 \ge 1$). Следовательно, неравенство $x^2 + 1 < 0$ никогда не выполняется, так как левая часть всегда больше или равна 1. Значит, это неравенство не имеет решений.

Ответ: $x^2 + 1 < 0$.