Номер 294, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 294, страница 118.

294 а) $3x^2 - 10x + 4 < 1;$

б) $-3x^2 + 7x + 4 < -2;$

В) $-5x^2 + 4x + 11 > 10;$

Г) $6x^2 + 7x - 2 > -3.$

а)

Решим неравенство $3x^2 - 10x + 4 < 1$.

Сначала приведем неравенство к стандартному виду $ax^2 + bx + c < 0$, перенеся все члены в левую часть:

$3x^2 - 10x + 4 - 1 < 0$

$3x^2 - 10x + 3 < 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Мы решаем неравенство $3x^2 - 10x + 3 < 0$. График функции $y = 3x^2 - 10x + 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a = 3 > 0$. Следовательно, значения функции меньше нуля между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(1/3, 3)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}, 3)$.

б)

Решим неравенство $-3x^2 + 7x + 4 < -2$.

Приведем неравенство к стандартному виду:

$-3x^2 + 7x + 4 + 2 < 0$

$-3x^2 + 7x + 6 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$3x^2 - 7x - 6 > 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Мы решаем неравенство $3x^2 - 7x - 6 > 0$. График функции $y = 3x^2 - 7x - 6$ — парабола с ветвями вверх ($a = 3 > 0$). Значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение интервалов $(-\infty, -2/3)$ и $(3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (3, +\infty)$.

в)

Решим неравенство $-5x^2 + 4x + 11 > 10$.

Приведем неравенство к стандартному виду:

$-5x^2 + 4x + 11 - 10 > 0$

$-5x^2 + 4x + 1 > 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$5x^2 - 4x - 1 < 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 4x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Мы решаем неравенство $5x^2 - 4x - 1 < 0$. График функции $y = 5x^2 - 4x - 1$ — парабола с ветвями вверх ($a = 5 > 0$). Значения функции меньше нуля между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-1/5, 1)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{5}, 1)$.

г)

Решим неравенство $6x^2 + 7x - 2 > -3$.

Приведем неравенство к стандартному виду:

$6x^2 + 7x - 2 + 3 > 0$

$6x^2 + 7x + 1 > 0$

Найдем корни уравнения $6x^2 + 7x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 - 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 5}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Мы решаем неравенство $6x^2 + 7x + 1 > 0$. График функции $y = 6x^2 + 7x + 1$ — парабола с ветвями вверх ($a = 6 > 0$). Значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение интервалов $(-\infty, -1)$ и $(-1/6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{6}, +\infty)$.