Номер 301, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 301, страница 119.

301 РАССУЖДАЕМ Решите неравенство:

а) $ \frac{100}{(x-5)(x-10)} > 0; $

б) $ \frac{1}{(2-x)(x+4)} \le 0; $

в) $ \frac{-20}{(1-x)(3-x)} < 0; $

г) $ \frac{-1}{(x+6)(x+7)} \ge 0. $

a)

Дано неравенство $ \frac{100}{(x-5)(x-10)} > 0 $.

Числитель дроби (100) является положительным числом. Для того чтобы вся дробь была положительной, ее знаменатель также должен быть положительным. Следовательно, мы должны решить неравенство:

$ (x-5)(x-10) > 0 $

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули выражения в левой части, решив уравнение $(x-5)(x-10) = 0$. Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = 10$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 5)$, $(5, 10)$ и $(10, \infty)$. Определим знак выражения $(x-5)(x-10)$ на каждом из этих интервалов.

- На интервале $(-\infty, 5)$ выражение положительно (например, при $x=0$, $(0-5)(0-10) = 50 > 0$).
- На интервале $(5, 10)$ выражение отрицательно (например, при $x=6$, $(6-5)(6-10) = -4 < 0$).
- На интервале $(10, \infty)$ выражение положительно (например, при $x=11$, $(11-5)(11-10) = 6 > 0$).

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Так как неравенство строгое, точки $x=5$ и $x=10$ (нули знаменателя) не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 5) \cup (10, \infty)$.

б)

Дано неравенство $ \frac{1}{(2-x)(x+4)} \le 0 $.

Числитель дроби (1) является положительным числом. Чтобы дробь была меньше или равна нулю, ее знаменатель должен быть строго отрицательным (равенство нулю для дроби невозможно, так как числитель не равен нулю). Таким образом, решаем неравенство:

$ (2-x)(x+4) < 0 $

Для удобства вынесем минус из первой скобки: $-(x-2)(x+4) < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ (x-2)(x+4) > 0 $

Найдем корни уравнения $(x-2)(x+4) = 0$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, 2)$ и $(2, \infty)$.

Определим знак выражения $(x-2)(x+4)$ на каждом интервале.

- На интервале $(-\infty, -4)$ выражение положительно.
- На интервале $(-4, 2)$ выражение отрицательно.
- На интервале $(2, \infty)$ выражение положительно.

Нас интересуют интервалы, где выражение $(x-2)(x+4)$ больше нуля. Точки $x=-4$ и $x=2$ не включаются в решение, так как они обращают знаменатель исходной дроби в ноль.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$.

в)

Дано неравенство $ \frac{-20}{(1-x)(3-x)} < 0 $.

Числитель дроби (-20) является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была отрицательной, ее знаменатель должен быть положительным. Таким образом, решаем неравенство:

$ (1-x)(3-x) > 0 $

Преобразуем выражение, вынеся -1 из каждой скобки: $(-1)(x-1)(-1)(x-3) > 0$, что эквивалентно $(x-1)(x-3) > 0$.

Найдем корни уравнения $(x-1)(x-3) = 0$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ и $(3, \infty)$.

Определим знак выражения $(x-1)(x-3)$ на каждом интервале.

- На интервале $(-\infty, 1)$ выражение положительно.
- На интервале $(1, 3)$ выражение отрицательно.
- На интервале $(3, \infty)$ выражение положительно.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Так как неравенство строгое, точки $x=1$ и $x=3$ не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

г)

Дано неравенство $ \frac{-1}{(x+6)(x+7)} \ge 0 $.

Числитель дроби (-1) является отрицательным числом. Чтобы дробь была больше или равна нулю, ее знаменатель должен быть строго отрицательным (равенство нулю для дроби невозможно). Таким образом, решаем неравенство:

$ (x+6)(x+7) < 0 $

Найдем корни уравнения $(x+6)(x+7) = 0$. Корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = -7$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -7)$, $(-7, -6)$ и $(-6, \infty)$.

Определим знак выражения $(x+6)(x+7)$ на каждом интервале.

- На интервале $(-\infty, -7)$ выражение положительно.
- На интервале $(-7, -6)$ выражение отрицательно.
- На интервале $(-6, \infty)$ выражение положительно.

Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля. Точки $x=-7$ и $x=-6$ не включаются в решение, так как они обращают знаменатель исходной дроби в ноль.

Ответ: $x \in (-7, -6)$.