Номер 302, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 302, страница 119.

302 a) Найдите положительные решения неравенства $x^2 + 2x - 2 < 0.$

б) Найдите отрицательные решения неравенства $x^2 - 2x - 1 > 0.$

а) Чтобы найти решения неравенства $x^2 + 2x - 2 < 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 2 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

Итак, корни уравнения: $x_1 = -1 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{3}$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции меньше нуля находятся между корнями.

Решением неравенства $x^2 + 2x - 2 < 0$ является интервал $x \in (-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3})$.

По условию задачи, нам нужно найти только положительные решения, то есть решения, удовлетворяющие условию $x > 0$. Найдем пересечение полученного интервала с промежутком $(0; +\infty)$:

$(-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3}) \cap (0; +\infty)$.

Оценим значения корней: $x_1 = -1 - \sqrt{3} \approx -2.73$ (это отрицательное число), $x_2 = -1 + \sqrt{3} \approx 0.73$ (это положительное число). Таким образом, пересечением является интервал $(0; -1 + \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (0; \sqrt{3}-1)$.

б) Чтобы найти решения неравенства $x^2 - 2x - 1 > 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Итак, корни уравнения: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, значения функции больше нуля находятся вне интервала между корнями.

Решением неравенства $x^2 - 2x - 1 > 0$ является объединение интервалов $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}; +\infty)$.

По условию задачи, нам нужно найти только отрицательные решения, то есть решения, удовлетворяющие условию $x < 0$. Найдем пересечение полученного множества с промежутком $(-\infty; 0)$:

$\left( (-\infty; 1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}; +\infty) \right) \cap (-\infty; 0)$.

Рассмотрим пересечение для каждого интервала отдельно:

1) $(-\infty; 1 - \sqrt{2}) \cap (-\infty; 0)$. Так как $1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.41 = -0.41$, то $1 - \sqrt{2} < 0$. Следовательно, пересечением является интервал $(-\infty; 1 - \sqrt{2})$.

2) $(1 + \sqrt{2}; +\infty) \cap (-\infty; 0)$. Так как $1 + \sqrt{2} > 0$, данный интервал содержит только положительные числа, и его пересечение с интервалом отрицательных чисел пусто.

Объединив результаты, получаем, что отрицательные решения неравенства лежат в интервале $(-\infty; 1 - \sqrt{2})$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1-\sqrt{2})$.