Номер 309, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 309, страница 120.

309 Докажите двумя способами, что при всех значениях переменной $a$ верно неравенство:

а) $a^2 + a + 1 > 0;$ б) $-a^2 + 3a - 5 < 0.$

Подсказка.

1) Используйте графические соображения.

2) Выделите квадрат двучлена и сравните полученное выражение с нулём.

а) Докажите, что при всех значениях переменной $a$ верно неравенство $a^2 + a + 1 > 0$.

1) Использование графических соображений.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = a^2 + a + 1$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $a^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, для чего решим уравнение $a^2 + a + 1 = 0$. Вычислим дискриминант $D$: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс. Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $a$, вся парабола расположена выше оси абсцисс. Следовательно, $a^2 + a + 1 > 0$ при любом значении $a$.

2) Выделение квадрата двучлена.

Преобразуем выражение $a^2 + a + 1$, выделив в нем полный квадрат: $a^2 + a + 1 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (a + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (a + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$. При любом действительном значении $a$ выражение $(a + \frac{1}{2})^2$ является квадратом и, следовательно, неотрицательно: $(a + \frac{1}{2})^2 \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принять это слагаемое, равно 0 (при $a = -\frac{1}{2}$). Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$. Поскольку $\frac{3}{4} > 0$, то и исходное выражение $a^2 + a + 1$ всегда положительно.

Ответ: Неравенство $a^2 + a + 1 > 0$ верно при всех значениях $a$.

б) Докажите, что при всех значениях переменной $a$ верно неравенство $-a^2 + 3a - 5 < 0$.

1) Использование графических соображений.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = -a^2 + 3a - 5$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $a^2$ равен -1, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $-a^2 + 3a - 5 = 0$. Вычислим дискриминант $D$: $D = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 9 - 20 = -11$. Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс. Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $a$, вся парабола расположена ниже оси абсцисс. Следовательно, $-a^2 + 3a - 5 < 0$ при любом значении $a$.

2) Выделение квадрата двучлена.

Преобразуем выражение $-a^2 + 3a - 5$, выделив в нем полный квадрат. Сначала вынесем -1 за скобки: $-a^2 + 3a - 5 = -(a^2 - 3a + 5)$. Теперь преобразуем выражение в скобках: $a^2 - 3a + 5 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 5 = (a - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{20}{4} = (a - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4}$. Подставим полученное выражение обратно: $-(a^2 - 3a + 5) = -((a - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{4}) = -(a - \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{4}$. При любом действительном значении $a$ выражение $(a - \frac{3}{2})^2 \ge 0$, следовательно, $-(a - \frac{3}{2})^2 \le 0$. Наибольшее значение, которое может принять слагаемое $-(a - \frac{3}{2})^2$, равно 0 (при $a = \frac{3}{2}$). Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно $0 - \frac{11}{4} = -\frac{11}{4}$. Поскольку $-\frac{11}{4} < 0$, то и исходное выражение $-a^2 + 3a - 5$ всегда отрицательно.

Ответ: Неравенство $-a^2 + 3a - 5 < 0$ верно при всех значениях $a$.