Номер 316, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 316, страница 123.

316 Решите неравенство:

a) $(x^2 + 1)(x - 6)(x + 3) > 0;$

б) $(x^2 + x + 2)(x^2 - 5x + 4)(x - 2) \le 0;$

в) $(3x^2 + 1)(x^2 + x - 6) \ge 0.$

Подсказка.

а) При любом значении $x$ множитель $x^2 + 1$ принимает положительные значения, поэтому неравенство можно заменить равносильным более простого вида.

а) Решим неравенство $(x^2 + 1)(x - 6)(x + 3) > 0$.

Множитель $x^2 + 1$ всегда принимает положительные значения, так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, и следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на этот множитель, не меняя знака неравенства.

Неравенство равносильно более простому: $(x - 6)(x + 3) > 0$.

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 6)$ и $(6, +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 6)(x + 3)$ в каждом интервале:

• При $x \in (-\infty, -3)$ (например, $x = -4$): $(-4-6)(-4+3) = (-10)(-1) = 10 > 0$. Знак «+».
• При $x \in (-3, 6)$ (например, $x = 0$): $(0-6)(0+3) = (-6)(3) = -18 < 0$. Знак «−».
• При $x \in (6, +\infty)$ (например, $x = 7$): $(7-6)(7+3) = (1)(10) = 10 > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это интервалы $(-\infty, -3)$ и $(6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (6, +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x^2 + x + 2)(x^2 - 5x + 4)(x - 2) \le 0$.

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Для квадратного трехчлена $x^2 + x + 2$ найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1>0$), то выражение $x^2 + x + 2$ всегда положительно при любых значениях $x$. Значит, мы можем разделить на него неравенство, сохранив знак.

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 4$. Решим уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.

Неравенство принимает вид: $(x - 1)(x - 4)(x - 2) \le 0$.

Решим его методом интервалов. Корни множителей: $1, 2, 4$. Они разбивают числовую ось на интервалы. Определим знаки произведения на этих интервалах.

• При $x \in (-\infty, 1)$ (например, $x = 0$): $(0-1)(0-4)(0-2) = (-1)(-4)(-2) = -8 \le 0$. Знак «−».
• При $x \in (1, 2)$ (например, $x = 1.5$): $(1.5-1)(1.5-4)(1.5-2) = (0.5)(-2.5)(-0.5) > 0$. Знак «+».
• При $x \in (2, 4)$ (например, $x = 3$): $(3-1)(3-4)(3-2) = (2)(-1)(1) = -2 \le 0$. Знак «−».
• При $x \in (4, +\infty)$ (например, $x = 5$): $(5-1)(5-4)(5-2) = (4)(1)(3) = 12 > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак «−»). Это интервалы $(-\infty, 1]$ и $[2, 4]$. Включаем концы интервалов, так как неравенство нестрогое ($\le$).

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, 4]$.

в) Решим неравенство $(3x^2 + 1)(x^2 + x - 6) \ge 0$.

Рассмотрим множитель $3x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$, а значит $3x^2 + 1 \ge 1$. Этот множитель всегда положителен.

Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $3x^2 + 1$, не меняя знака. Получаем равносильное неравенство: $x^2 + x - 6 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6$, решив уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$.

Неравенство можно переписать в виде $(x + 3)(x - 2) \ge 0$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) при $x$, находящихся левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это объединение промежутков $(-\infty, -3]$ и $[2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.