Номер 312, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 312, страница 123.

312 Решите неравенство:

а) $(x + 1)(x - 1)(2x - 5) < 0;$

б) $(x + 4)(3x - 9) \le 0;$

в) $x(2x - 3)(x + 5) > 0;$

г) $(x - 3)(3x - 2)(x + 2) \ge 0.$

Подсказка. Преобразуйте неравенство в равносильное так, чтобы в каждом из множителей коэффициент при $x$ был равен 1. Например, а: вынесите в двучлене $2x - 5$ множитель 2 за скобки и разделите обе части неравенства на 2.

а) Дано неравенство: $(x + 1)(x - 1)(2x - 5) < 0$.
Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Сначала преобразуем множитель $(2x - 5)$, вынеся за скобку коэффициент при $x$: $2x - 5 = 2(x - \frac{5}{2}) = 2(x - 2.5)$.
Подставим это в неравенство: $(x + 1)(x - 1) \cdot 2(x - 2.5) < 0$.
Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится: $(x + 1)(x - 1)(x - 2.5) < 0$.
Теперь найдем нули (корни) левой части, решив уравнение $(x + 1)(x - 1)(x - 2.5) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2.5$.
Отметим эти корни на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($<$), точки будут выколотыми, то есть не войдут в решение. Корни разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 2.5)$ и $(2.5; +\infty)$.
Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(2.5; +\infty)$, взяв любую точку, например, $x = 3$.
$(3 + 1)(3 - 1)(3 - 2.5) = 4 \cdot 2 \cdot 0.5 = 4 > 0$. Значит, на этом интервале выражение положительно.
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах чередуются. Расставим знаки на интервалах слева направо: $-, +, -, +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля ($<0$). Это интервалы $(-\infty; -1)$ и $(1; 2.5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; 2.5)$.

б) Дано неравенство: $(x + 4)(3x - 9) \leq 0$.
Преобразуем множитель $(3x - 9)$, вынеся за скобку 3: $3x - 9 = 3(x - 3)$.
Неравенство примет вид: $(x + 4) \cdot 3(x - 3) \leq 0$.
Разделим обе части на 3: $(x + 4)(x - 3) \leq 0$.
Найдем корни уравнения $(x + 4)(x - 3) = 0$.
Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$.
Отметим эти корни на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому точки будут закрашенными, то есть войдут в решение. Корни разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -4]$, $[-4; 3]$ и $[3; +\infty)$.
Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 4$: $(4 + 4)(4 - 3) = 8 \cdot 1 = 8 > 0$.
Знаки на интервалах чередуются: $+, -, +$.
Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю ($\leq 0$). Это интервал $[-4; 3]$.
Ответ: $x \in [-4; 3]$.

в) Дано неравенство: $x(2x - 3)(x + 5) > 0$.
Преобразуем множитель $(2x - 3)$: $2x - 3 = 2(x - \frac{3}{2}) = 2(x - 1.5)$.
Неравенство примет вид: $x \cdot 2(x - 1.5)(x + 5) > 0$.
Разделим обе части на 2: $x(x - 1.5)(x + 5) > 0$.
Найдем корни уравнения $x(x - 1.5)(x + 5) = 0$.
Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1.5$.
Отметим корни на числовой оси. Неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 1.5)$ и $(1.5; +\infty)$.
Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 2$: $2(2 - 1.5)(2 + 5) = 2 \cdot 0.5 \cdot 7 = 7 > 0$.
Знаки на интервалах чередуются: $-, +, -, +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля ($>0$). Это интервалы $(-5; 0)$ и $(1.5; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; 0) \cup (1.5; +\infty)$.

г) Дано неравенство: $(x - 3)(3x - 2)(x + 2) \geq 0$.
Преобразуем множитель $(3x - 2)$: $3x - 2 = 3(x - \frac{2}{3})$.
Неравенство примет вид: $(x - 3) \cdot 3(x - \frac{2}{3})(x + 2) \geq 0$.
Разделим обе части на 3: $(x - 3)(x - \frac{2}{3})(x + 2) \geq 0$.
Найдем корни уравнения $(x - 3)(x - \frac{2}{3})(x + 2) = 0$.
Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = \frac{2}{3}$, $x_3 = 3$.
Отметим корни на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\geq$), точки будут закрашенными. Интервалы: $(-\infty; -2]$, $[-2; \frac{2}{3}]$, $[\frac{2}{3}; 3]$ и $[3; +\infty)$.
Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 4$: $(4 - 3)(4 - \frac{2}{3})(4 + 2) = 1 \cdot \frac{10}{3} \cdot 6 = 20 > 0$.
Знаки на интервалах чередуются: $-, +, -, +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\geq 0$). Это интервалы $[-2; \frac{2}{3}]$ и $[3; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-2; \frac{2}{3}] \cup [3; +\infty)$.