Номер 318, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. График дробно-линейной функции. Глава 2. Квадратичная функция - номер 318, страница 130.

318 1) Укажите асимптоты графика функции и постройте этот график по точкам:

а) $y = \frac{2}{x+3}$;

б) $y = -\frac{1}{x-4}$.

2) Покажите с помощью схематического рисунка, как расположена в координатной плоскости гипербола, заданная формулой $y = \frac{k}{x+p}$, если:

а) $k > 0, p > 0$;

б) $k > 0, p < 0$;

в) $k < 0, p > 0$;

г) $k < 0, p < 0$.

1)

а) $y = \frac{2}{x+3}$

1. Асимптоты.
График функции является гиперболой, полученной сдвигом графика $y = \frac{2}{x}$ вдоль оси абсцисс.

• Вертикальная асимптота находится там, где знаменатель дроби обращается в ноль. $x + 3 = 0$, следовательно, $x = -3$ — это уравнение вертикальной асимптоты.
• Горизонтальная асимптота определяется поведением функции при $x \to \pm\infty$. Когда $x$ стремится к бесконечности, значение дроби $\frac{2}{x+3}$ стремится к нулю. Следовательно, $y = 0$ (ось Ox) — это уравнение горизонтальной асимптоты.

2. Построение графика по точкам.
Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви гиперболы будут расположены в первой и третьей четвертях относительно новых осей (асимптот $x=-3$ и $y=0$).
Составим таблицу значений для нескольких точек:

$x$	$y = \frac{2}{x+3}$
-5	-1
-4	-2
-3.5	-4
-2.5	4
-2	2
-1	1
0	$\frac{2}{3}$

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавными линиями, приближаясь к асимптотам.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -3$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$. График — гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.

---

б) $y = -\frac{1}{x-4}$

1. Асимптоты.
График этой функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{1}{x}$.

• Вертикальная асимптота: $x - 4 = 0$, следовательно, $x = 4$.
• Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Следовательно, $y=0$ (ось Ox).

2. Построение графика по точкам.
Так как коэффициент $k=-1 < 0$, ветви гиперболы будут расположены во второй и четвертой четвертях относительно новых осей (асимптот $x=4$ и $y=0$).
Составим таблицу значений:

$x$	$y = -\frac{1}{x-4}$
2	0.5
3	1
3.5	2
4.5	-2
5	-1
6	-0.5

Построим график по этим точкам.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = 4$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$. График — гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.

---

2)

Функция $y = \frac{k}{x+p}$ задает гиперболу. Ее график получается из графика $y = \frac{k}{x}$ сдвигом вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота задается уравнением $x+p=0$, то есть $x=-p$. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, $y=0$.Положение ветвей гиперболы зависит от знака коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях относительно асимптот.
• Если $k < 0$, ветви расположены во 2-й и 4-й четвертях относительно асимптот.

Положение вертикальной асимптоты $x=-p$ зависит от знака $p$:

• Если $p > 0$, то $-p < 0$, и асимптота $x=-p$ находится слева от оси Oy (сдвиг влево).
• Если $p < 0$, то $-p > 0$, и асимптота $x=-p$ находится справа от оси Oy (сдвиг вправо).

а) $k > 0, p > 0$

Асимптота $x=-p$ находится слева от оси Oy. Так как $k > 0$, ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях относительно асимптот.

Ответ: Вертикальная асимптота $x = -p$ находится слева от оси Oy. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.

б) $k > 0, p < 0$

Асимптота $x=-p$ находится справа от оси Oy. Так как $k > 0$, ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях относительно асимптот.

Ответ: Вертикальная асимптота $x = -p$ находится справа от оси Oy. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.

в) $k < 0, p > 0$

Асимптота $x=-p$ находится слева от оси Oy. Так как $k < 0$, ветви расположены во 2-й и 4-й четвертях относительно асимптот.

Ответ: Вертикальная асимптота $x = -p$ находится слева от оси Oy. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.

г) $k < 0, p < 0$

Асимптота $x=-p$ находится справа от оси Oy. Так как $k < 0$, ветви расположены во 2-й и 4-й четвертях относительно асимптот.

Ответ: Вертикальная асимптота $x = -p$ находится справа от оси Oy. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.